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递推数列题型归纳解析

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卖家[上传人]：博****1

文档编号：488416058

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常见问题

1、各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1anianf（n）解法：把原递推公式转化为an1anf（n）,利用累加法（逐差相加法）求解。1 1例：已知数列an湎足a1-,an1an-，求an。2 nn类型2an1f(n)an解法：把原递推公式转化为an 1anf (n) ，利用累乘法（逐商相乘法）求解。2n 1an例：已知数列an湎足a1-,an13一，3n1例：已知&3,an1生an(n1),求a3n2变式：（2004,全国I,理15.）已知数列an,满足a1=1,1an a1 2a2 3a3(n1)an1(n2),则an的通项an类型3an1panq(其中p,q均为常数，(pq(p1)0)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：anitp(ant),其中t1P再利用换元法转化为等比数列求解。例：已知数列an中，ai1,ani2an3,求an.变式：(2006,重庆，文,14)在数列an中，若a11,an12an3(n1),则

2、该数列的通项an变式：(2006.布建.理22)已知数列an满足a11,an12an1(nN).(I)求数列an的通项公式；(II)若数列bn满足4b114b21L4bn1(an1)，nN*),证明：数列bn是等差数列；变式：递推式：an1panfn。解法：只需构造数列bn,消去fn带来类型 4 an 1 panqn (其中 p, q 均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)（或an1panrqn,其中p,q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1,得：粤4卫？驾。引qqqq入辅助数列bn（其中bn=）,得：bn1工再待定系数法解决。qqq变式：（2006,全国I,理22）设数列an的前n项的和Sn4an12n1-,n1,2,3,g6g333（I）求首项a1与通项an;类型5递推公式为an 2 pan 1 qan (其中p, q均为常数）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为an2san1t（an1san）其中stps,t酒足stq例1.数列an:3an25an12an0(n0,nN),a1a,a2b,求数列an的通项公式214例：已知数列an中，a11,

3、a22,an2-an1an，求an。33类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an)解法：这种类型一般利用anS1(n1)与SnSn1(n2)anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解。1例：已知数列an刖n项和Sn4ann-y.(1)求an1与an的关系；(2)2求通项公式an.2变式：(06陕西，理,)已知正项数列an,其前n项和Sn满足10S=an+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an类型7an1pananb(p1、0,a0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny),与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。例：设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.变式：(2006,山东，文,22)1已知数列an中，ai一、点(n、2an1an)在直线y=x上，其中2n=1,2,3(I)令bnan1an3,求证数列bn是等比数列；(H)求数列an的通项；数列求和的常用方法一、公式法等差数列求和公式；等比数列求和

4、公式；常用公式：n1no111oSnk-n(n1),Snk-n(n1)(2n1),Snk-n(n1)k12k16k12二、.并项求和法：将数列的相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。四.裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差，使得正负项能互,剩下首尾若干项.。1 ,n(n 1) n n 11n(n k)n(n1)(n2)1.an.n ,n 1n n 1. n五.错位相减法：若an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.六.倒序相加法：将一个数列的倒数第k项（k=1,2,3,，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。【课前热身】1、数列2,1112-,3 ,4 ,2481,n-vy,的刖n项之和为22、设 Sn1(1)n1 n,则 S17 S33 S50=J3、数列1,(1+2),(1+2+22)，(1+2+22+-+

5、2n-1),的前n项和等于2n+1-2-n4、已知数列 an的通项公式是an1_n2 5n一,则前n项和为6n3n 3)例 2、Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1(n例3、（ 1）求数列的前n项和:111 1,一 4,，aa7,3n 2求1111111111之和.n个1(3)求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.(4)求和：Sn(n1) 3 (n 2)1；【课后作业】132 12、1_12 12 31 2 3 L +n n+12n3、已知等比数列an前n项和为Sn且S5=2,3。=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于164、在等比数列an中，若有a3=2S2+1,a4=2S+1,贝U该数歹的公比q=5、数列an：a11,a23,a32,an2an1an,&。2=5nn+1n+56、Sn142536Ln(n3)=37、等差数列an中，已知公差d=5,前20项的和&。=400,则(a?ada2。)(a1a3a9)=20008、已知数列an前n项的和Sn=3+2n,则a，a22a32an2=肉719、给定anlogn1(n2)(nN),定义使aa2a3ak为整数的k叫做企盼数，则在区间(1,2008)内的所有企盼数的和为202610、已知等比数列an的前n项和Sna2nb,a3。(1)求a,b的值及数歹Ian的通项公式；(2)设bn=2,求数歹Ibn前n项和Tn.an13、已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x-2,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图像3上。(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=一，Tn是数列bn前n项和，anan+1求使得Tn_m对所有nN*都成立的最小正整数m=n20

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