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椭圆知识点小结

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卖家[上传人]：夏**

文档编号：487511658

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常见问题

1、椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F、F的距离之和等于常数(花+12pf = 2a Iff),2 1 212这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若(|PF1 | +PF2 A |F1耳)则动点P的轨迹为线段卩；2 12若(IPF1 + PF2 | F1F2)，则动点P的轨迹无图形.e = -(0 e b 0)对应于右焦点F (c, 0)的准线称为右准线, a2 b22方程是x =，对应于左焦点F (c, 0)的准线为左准线x =-c1ce的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。3、椭圆的标准方程：x 2y 21.当焦点在时由上时，椭圆的标准方程：石+厉=1(a b 0)其中2二a2 - b2y 2 x22. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：+ = 1 (a b 0)，其中C2 = a2 b2 ；a 2 b2注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2 .在椭圆的两种标准方程中，都有(a b 0)和c2 = a 2 b2 ；3. 椭圆的焦点总在

2、长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)， (c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)， (0,-c)4、椭圆的简单几何性质：标准方程X 2y 2+ y -1 (a b 0)a 2 b 2y 2x 2y +-1(a b 0)a 2 b 2图形性质焦占八、八、F (-c,0), F (c,0)1 2F (0,-c), F (0, c)1 2焦距FF - 2c1 2FF- 2c1 2范围5 a, y b b , y a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(土a,0),(0,b)(0,a), (b,0)轴长长轴长-2a，短轴长-2b离心率e - - (0 e 1) a准线方程,a 2 x - cy-聖c焦半径PFi-a + ex ,0PF - a 一 ex2 0PFi-a + ey , PF - a - ey0 2 0注意：椭圆P辛=1的图像中线段的几何特征（如下图）:(1) (|PFi | + |PF2PF PF=e ； (PMPM PM1(2)(眄=|BF2 = a)； (|OF 丨二 |OF 丨二 c)；1 2 |A1 F1 = IA2F2 匸 a - c；AF

3、1 2二 |A F I 二 a + c : a - c PF | b 0)的相同点：形状、大小都相同；参数间a2 b2a 2 b2的关系都有(a b 0)和e = (0 e b 0)， (a c 0)，且(a2 = b2 + c2)。是：看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。(4)方程Ax2 + By2 = C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件Ax2 By2x2 By 2方程Ax2 + By2 = C可化为一 +十=1，即一C +十二1，所以只有A、B、C同A BC CC C号，且A圭B时，方程表示椭圆。当= 时，椭圆的焦点在x轴上；当= b 0)共焦点的椭圆方程可设为a 2 b2x2 y 2+= 1(m -b2)，此类问题常用待定系数法求解。a 2 + m b2 + m(7) 判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x换成-x，方程不变，则曲线关于y轴对称；若把曲线方程中的y换成-y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x、y同时换成-x、- y，方程不变，则曲线关于原点对称。(8) 如何求解与焦点三角形厶PF1F2 (P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或1勾股定理)、三角形面积公式S 二TPF X |PF |x sin ZFPF相结合的方法进行计呼F 21212算解题。将有关线段|PF |、|PF |、|F F |，有关角ZF PF (ZFPF 1 ；0 0a 2 b2(2)点 P(x ,y )在椭圆上O + =1； (3)点 P(x ,y )在椭圆内 O + 1。0 0a 2 b20 0a2 b2

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