二项式分布及其应用

1、实用标准文档( )3A.42B.331c.D.52解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率1P1 =-;第二类，需比赛 2 局,考点梳理1 .条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件 A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条PA nB件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B |A).P An A AB在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A) = n A(2)条件概率具有的性质: 0 wP(B|A) W1 ； 如果B和C是两互斥事件，则 P(BU C|A)= P(B|A)土 P(C|A).2 .相互独立事件(1) 对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响，则称 A、B是相互独立事件.(2) 若A与B相互独立，则 P(B|A)= P(B),P(AB) = P(B|A) P(A) = P(A) P(B).若A与B相互独立，则 A与B , A与B, A与B也都相互独立.若P(AB) = P(A)P(B)，则A与B相互独立.3 .独立重复试验与二项分布(1) 独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种

2、试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2) 二项分布在n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为k,在每次试验中事件 A发生的概率 为p，那么在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次的概率为P(X= k)= CKpk(1 p)n k(k = 0,1,2，n)，此时称随机变量 X服从二项分布，记作 XB(n, p),并称p为成功 概率.考点自测1甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再 赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为L T石E1第一局甲负，第二局甲赢，其概率答案 A1113P2= -.故甲队获得冠军的概率为Pl + P2 =-.2 2 442 .小王通过英语听力测试的概率是他连续测试3次，那么其中恰有 1次获得通过的概率是(4A.-92B-94C.272D.一27解析1所求概率P= C3 - 1311 -3答案K正常工作且A1、A2至3.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率

3、依次为0.9,0.8,0.8 ,则系统正常工作的概率为().A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D . 0.576解析 P= 0.9 X1 (1 0.8) 2 = 0.864.答案 B14 如果XB 15 ,-，则使P(X= k)取最大值的k值为().4A. 3B . 4C . 5D . 3 或 4解析采取特殊值法.1 31313P(X= 3) = C15 ；3412 , P(X= 4) = Ct5 4 ； 11 , P(X= 5) = C55 ； 5 ； 10,从而易知 P(X= 3) = P(X= 4) P(X= 5).答案 D5 .把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A, “第二次出现正面”为事件B,则P(B|A)等于().1111A._B._C._D_24681P AB4 1解析法一P(B|A) = P A=1 = 2.2法二 A包括的基本事件为正，正, 正，反, AB包括的基本事件为正，正，因此实用标准P(B|A) = 2.答案 A考向一条件概率【例1】从123,4,5中任取2个不同的数，事件 A =“取到的2个数之和为偶数”，事 件B=“取到

4、的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于().由条件概率计算公式，得P A nBP(B|A)10 14 = 410答案 B1121A.B-c-D.8452C3 + C242C21解析 P(A)=石=5，P(A nB)=C2=石文档【训练1】如图,EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A) = (2)P(B|A)=n解析 圆的面积是n,正方形的面积是2，扇形的面积是一，根据几何概型的概率计算42公式得P(A)=，根据条件概率的公式得nP ABP(B|A)T7n 12 一47t答案考向二独立事件的概率【例2】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2) 求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解(1)设“购买甲种保险”事件为 A, “购买乙种保险”事件为 B 由已知条件 P(A)= 0.

5、5 , P(BA) = 0.3 ,0.3P(B)P(A) = 0.3 , P(B)= 0.6 ,P A因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1 P( A B ) = 1 P(A)P(B)=1 (1 0.5)(1 0.6)=0.8.(2) 一位车主两种保险都不购买的概率为P= P( A B ) = 0.2 ,因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为C1 X0.2 X0.82= 0.384.【训练2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B,丙对C各一盘已知甲胜 A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结 果相互独立.(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；(2) 用战示红队队员获胜的总盘数，求喲分布列和数学期望E()解(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,贝U D , E , F分别表示甲不胜 A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为 P(D) = 0.6 , P(E = 0.5 , P(F) = 0.5 ,由对立事件的概率公式知P(D) = 0.4 , P(E) = 0.5 , P(F)

6、= 0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF, DEF, DEF, DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 P= P(DEF)+ P(DEF) + P(DEF) + P(DEF)= 0.6 X0.5 X0.5 + 0.6 X0.5 X0.5 + 0.4 X0.5 X0.5 + 0.6 X0.5 X0.5 = 0.55.(2)由题意丄河能的取值乞0,1,2,3.又由(1)知deF, DEf, dEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(E=0) = P(DEF)= 0.40.5 X0.5 = 0.1 ,_P( E= 1) = P(DEF)+ P(DEF) + P(DEF)=0.4 X0.5 X0.5 + 0.4 X0.5 X0.5 + 0.6 X0.5 X0.5 = 0.35 ,P( E= 3) = P(DEF)= 0.6 X0.5 X0.5 = 0.15.由对立事件的概率公式得P( E= 2) = 1 P( = 0) P( E= 1) P( E= 3) = 0.4.所以的分布列为:30123P0.10.350.40.15因此

7、E( 3= 0 X0.1 + 1 xo.35 + 2 X0.4 + 3X0.15 = 16考向三 独立重复试验与二项分布【例3】？ 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是(1) 设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2) 设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列;(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.1解(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为 一，且每次试验结果是相31互独立的，故XB 6, 3 .3所以X的分布列为12P(X= k) = C6 - k - 6-k, k= 0,1,2,3,4,5,6.3 3(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：Y= k(k = 0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k + 1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.2 1P(Y= k) = 3 k 3(k = 0,1,2,3,4,5),而Y= 6表示一路没有遇上红灯.2故其概率为

8、P(Y= 6) = - 6,3因此Y的分布列为:Y012311 21 21 2P 2.333 33 33 3Y4561 21 22P.4.563 33 33(3) 这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为X 1 = X= 1 或 X = 2 或或 X= 6,所以其概率为P(X1) =P(X= k) = 1 P(X= 0)k = 12 6656 =3 = 729【训练3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业 能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的， 且各人的选择相互之间没有影响.(1) 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；任选3名下岗人员，记 X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列.解(1)任选1名下岗人员，记该人参加过财会培训”为事件 A,该人参加过计算机 培训”为事件 B,由题设知，事件 A与B相互独立，且 P(A) = 0.6 , P(B) = 0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P( A B )= P( A ) P( B ) = (1 0.6)(1 0.75) = 0.1.该人参加过培训的概率为1 0.1 = 0.9.(2) 因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布XB(3,0.9),P(X= k) = C30.9kxo.13-k, k = 0,1,2,3 ,X的分布列是X0123P

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