定积分的求解方法及其应用

1、题 目 定积分的求解方法及其应用定积分的求解方法及其应用杨洋摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、 定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间,中，不包含两个端点，共有个点,按照大小分别为,这些点将闭区间,分割为大小不一的子区间，共有个，用表示这些子区间，即=, =1,2, ,。可以将点或子区间视为分割了闭区间,，令集合,或,.定义2 假设函数的定义域为 ,。将区间,分割为个，得分割区间的集合,，在区间上随意取点，即, =1,2, ,，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得，

2、该式是函数在定义域,上的积分和.定义3 假设函数的定义域为 ,，是给定的实数。假如总能找到某个的正数，以及任何正数，在定义域 ,进行任意大小的分割，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合，当时，存在 ，则函数在定义域,上可积，即。为函数在定义域上的定积分，是积分变量，为被积函数，,称为积分区间，、是该定积分的下限和上限。1.2 定积分的求法1.2.1 运用定义求定积分先用定义法进行解题，分为三步进行解答：把定义域,分割为个子区间，进而得到分割；列出式子；取极限.例1 计算定积分.解 （1）分割： 将等分为块，=, （2）近似求和 令=,=（3）取极限 = 解析 上题中使用定义法进行解题，通过三步法，进而求出积分和的极限来计算定积分,具体过程繁琐，而且相比于下面几种方法，较为复杂。1.2.2 运用几何意义求定积分定积分的几何意义：对于连续函数在定义域,，与直线x=m 、x=n ，y=0组成一个曲边梯形，该图形面积为为；连续函数的定义域为,，在，的时候，该定积分的几何意义指函数图形所构成的区域面积；当,时,这时其大小与函数图形所构成的曲变梯形面积的负数。对于在定义域内可能大于零也可能

3、小于零的情况下，定积分的值为曲线图形所构成面积的代数和，其中在轴上方的面积为正数，在轴下方的面积为负数。例2 证明定积分.解 设,那么由为轴上的上半圆，半径为x=1，具体图形详见图1。由于半径为1的圆面积，故该图形面积为，轴上方大于零，得 .解析 当函数表达式不太复杂，即表示的图形较为简单的时候，将函数图形画在二维坐标上的难度不大，再找出上下限的范围,求出这个范围内的图形面积,最后得出定积分的结果，可见这种方面相当直观。1.2.3 运用牛顿莱布尼茨公式求定积分定理1 当函数为连续函数，其定义域为,，并且该函数有原函数, ,那么函数在,上可积，定积分 .称为牛顿莱布尼茨公式,通常写为. (1）例3 计算定积分.解 由于函数fx=x在定义域0,1 上原函数存在，满足条件，由公式（1）得解析 可知上题中函数的原函数可以表示成. 在使用牛顿莱布尼茨公式的时候，应当明确该函数的原函数存在，并求出被积函数的一个原函数，然后带入公式（1）就能得出结果.这种方法以不定积分计算为基础,再利用定积分的性质,算出最后结果,是定积分求解的一个有效的方法.1.2.4 运用换元积分法求定积分定理2 已知函数在定义

4、域,上为连续函数，并且函数在上可积，且,，则将定积分换元公式表示为. （2）例4 求定积分.解 令,当=时x=0 ，当=时, x=1，得。带入公式（2）中得+- 令,代入有=, 与相互抵消,得=. 解析 例4中基本不可能将被函数的原函数用初等函数写出来，因此使用牛顿莱布尼茨公式无法解答。但是利用换元积分法,能够除去不能求出原函数的那一部分,从而求出定积分。1.2.5 运用分部积分法求定积分定理3 已知连续函数在定义域,上可微， 和都在定义域上可积，则将分部积分法表示为： . （3）例5 求定积分.解 采用分部积分法得=解析 例5中,可以令=,进而能简便运算.例6 求定积分.解 不妨设=, ,使用分部积分法得=例7 求定积分解 令,使用分部积分法得=解析 对于在例题6、7而言，被积函数的形式为幂函数以及指数函数、幂函数以及三角函数构成，可以令幂函数为后使用分部积分法。1.2.6 运用凑微分法求定积分定理4 已知函数的定义域为，且在区间上存在导数,即。如果在上有原函数，那么在上也存在原函数， 例8 求定积分解 = =解析 例8中,将换元,令,化简积分公式再计算.例9 计算解 = = = =

5、解析 被积函数由三角函数相乘组成时,用凑微分法,拆开奇次项,例9中利用,进而化简为关于的积分公式,结果也就出来了.二、 定积分的应用2.1 定积分的数学应用2.1.1 求平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算图形所围面积由连续曲线,直线、直线y=0 轴构成,那么面积求由上下两条曲线以及两条直线与所围的平面图形,该图像面积用表示。（如图2所示）接下来介绍微元法求面积的步骤：取为积分变量,. 在区间上随机取区间,由于该区间长度特别小，可将该区间所围面积视为矩形，该矩形高为,宽为,矩形面积. 写出积分表达式,即. （5） 例10 求曲线与所围图形的面积.解 画出所围的图形（如图3所示）由方程组得, 为两条曲线交点,设为积分变量,则.将两曲线方程分别改写成用表示的表达式得所求面积为 .解析 在平面直角坐标系中,先求出曲线的交点坐标,再求出自变量的取值范围.其次,用公式（5）代入,可以算出面积了.（2）极坐标系下面积的计算已知曲线的极坐标方程为,并且在上为连续函数,。那么曲线与两条射线所围成的图像面积为一个扇形（如图4所示）。接下来用微元法求其面积A.y将视为积分变量,积分区间为，在区间,+

6、中对应的面积能够近似看作为一个扇形面积，其半径是，夹角为，面积 x因此，曲线所谓图形面积为 . （6）图5例11 求双纽线所围平面图形的面积.（如图5）.解 因为,所以的取值范围是与.由图形的对称性得解析 例11中找出极坐标方程,确定极角的范围,再带入公式（6）,求出最后结果 .2.1.2 由平面截面面积求体积设是上的连续函数,是由平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体.取为积分变量,在上随意去一个区间,见薄片的体积视为圆柱体，底面图图形半径是,为高,薄片体积为,因此旋转体的体积可以表示为. (7) 例12 求平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积：（1）.解 如图6所示,它可看作由平面图形,绕轴旋转而成的椭球体.则由公式（7）求得椭球体的体积为 .（2）,绕轴.解 如图7所示,它可看作由平面,绕轴旋转而成的椭球体,则由公式（7）所求得的椭球体体积为 .当时,此时的旋转体就变成了球体,其中.2.1.3 求平面弧长（1）直角坐标系下弧长的计算定理5 已知平面曲线是没有自交点的且没有闭合,函数可由参数方程表示。若上连续可微,则的弧长可以表示为. (8)例14 线一拱的弧长.解 ,由公式（8）得（2）极

7、坐标系下弧长的计算 定理6 已知曲线为一条光滑曲线，能够被极坐标方程表示,且导函数在区间为连续函数，并且与不同时为零时,这时弧长可以表示为. （9）例14 求心形线的弧长.解 由公式（9）得2.1.4 在数学建模中的简单应用数学建模中也会应用到定积分,主要包括图论与网络优化模型和概率模型等.下面简单介绍关于最短路径的问题.最短路径问题：一只蚂蚁在橄榄球上的点爬到点的最短距离是椭球表面上连接两点的最短距离.我们可以将上述问题其抽象为：如图8是曲面上任意给定的两个点,求连接它们之间的光滑曲线的最短长度.这个问题在数学上可以表述如下：是曲面方程的两点,求两点的曲线,使得该曲线的长度最短. 因为曲线的弧长为,所以曲线的长度是.最短路径问题是在曲面上求曲线,使得在的条件下,达到最小.2.1.5 在初等数学中的应用（1）证明不等式 根据定积分的性质,利用定积分证明不等式,：设与都在上可积,且,则.特别地,当时,有.例16 证明：已知且,且时,求证证明 若或且时, 因此 即 若或且时, 因此 即 综上可得：当且,且时,有解析 当时,上述结论依然成立.所以,我们得到一般性结论：设,则若时,有；若或时,有；当且仅当时,两边等式成立.（2）求和根据积分与微分互为逆运算的性质,先对和式进行积分,再利用已知的数列求和,得到积分和,再对其进行求导就可得出结果.例17 求和, 解 设, 对和式积分得,对和式求导得 ,（3）因式分解 对原来的代数式化简,把原式中字母看成自变量,而其余字母看作常量,从而原式变成了关于自变量的代数式,先求导,再积分,确定积分常数,最后因式分解.例 18 化简解 设原式为=,为变量,、为常量； 对求导得 对积分得 确定常数 于是有 2.2 定积分的物理应用2.2.1 变力沿直线作功由初等物理可知,沿常力的方向作直线运动的物体运动的位移为时,物体所受力的功是.但实际上物体在运动了一定位移的过程中,所受到的力不是恒定不变的,这就成了变力做功.在求整个做功中,利用区间可加性,用到了定积分.a x x+dx b xF(x)图9如图9所示,设在变力的作用下,物体沿轴从点移动到点,的方向与轴方向相同,.在区间上任取一小区间,区间上任意点的力为.因此此区间的功为,因此,从到这一段位移上变力所作的功为.

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