电路微分方程解法.doc
11页1、第七章 二阶电路 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路,二阶电路中至少含有两个储能元件当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路,比如两个电容(电感)串(并)联情况。u 重点:1 电路微分方程的建立2 特征根的重要意义3 微分方程解的物理意义u 难点:1 电路微分的解及其物理意义2 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、 二阶齐次微分方程的通解形式,其特征方程为:,特征根:。当特征方程有不同的实根、时,当特征方程有相同的实根时,当特征方程有共轭的复根时,二、 欧拉公式7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前,我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路(即R=0,无阻尼情况)来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。 设电容的初始电压为,电感的初始电流为零。在初始时刻,能量全部存储于电容中,电感中没有储能。此时电流为零,电流的变化率不为零(,),这样电流将不断增大,原来存储在电容中的电能开始转移,电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零时,电感电压也为零,此时电流的变化率也就为零,电流达到最大值I0,此时电场能全部转化为电磁
2、能,存储在电感中。 电容电压虽然为零,但其变化率不为零(,),电路中的电流从I0逐渐减小,电容在电流的作用下被充电(电压的极性与以前不同),当电感中的电流下降到零的瞬间,能量再度全部存储在电容中,电容电压又达到,只是极性与开始相反。之后电容又开始放电,此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反,与刚才的过程相同,能量再次从电场能转化为电磁能,直到电容电压的大小与极性与初始情况一致,电路回到初始情况。上述过程将不断重复,电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。可以想象,当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小,电路仍然可以形成振荡,但由于能量在电场能与电磁能之间转化时,不断地被电阻元件消耗掉,所以形成的振荡为减幅振荡,即幅度随着时间衰减到零;另一种可能是电阻较大,电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉,电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移,电压、电流将直接衰减到零。7.1.2 二阶电路的微分方程二阶电路如下,其中电容电压的初始值为,电感电流的初始值为。根据该电路列写电路方程为其电路电流为:因此:,所以,电路方程为:7.1.3 二阶电路微分方程的求解方
3、程的特征方程为。特征根为:其中:由特征根的性质(不等的实数、相等的实数或共轭的复数)就可以确定通解的具体形式。再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。7.1.4 二阶电路特征根的讨论分别讨论特征根的情况。一、 过阻尼情况非振荡放电过程1过阻尼的条件 当,即()时,特征根、为不相等的负实数。此时固有频率为不相等的负实数,2过阻尼时的响应当特征根为不相等的实数时,方程的解的形式为其中:而,且电路的初始条件,有而,同时,因此,初始条件为:,代入电路方程中,就可以解出其中的待定系数,得出由此可见,和均为随着时间衰减的指数函数,电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻时电流达到最大值。而:3过阻尼时的响应曲线二、 临界阻尼情况1临界阻尼的条件 当,即()时,特征根、为相等的负实数p;此时固有频率为相等的负实数,2临界阻尼时的响应当方程的特征根相同时,然后可以按照初值求取待定系数;也可以利用非振荡放电过程的解,令,取极限得出。 非振荡放电过程的解为:,令,取极限,根据罗必塔法则:由此可见,和也为随着时间衰减的指数函数,仍然为非振荡响应。其中3临界阻尼时的响应曲线临界阻尼时响应曲线的
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