25等比数例的前n项和

1、课题：2.5.1等比数列的前n项和（1）教案教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学 习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式 解决有关等比数列的一些简单问题。过程与方法：经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具 体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习 数学的热情和刻苦求是的精神。教学重点等比数列的前n项和公式推导教学难点灵活应用公式解决有关问题学情分析：针对学生学习等差数列前n项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法 的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。教学过程一. 课题导入创设情境提出问题课本P62 “国王对国际象棋的发明者的奖励”二. 讲授新课分析问题如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首 项是1，公比是2，求第一个格子到

2、第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列 的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。等比数列的前n项和公式：时，当 q=1 时，S = nan1当已知ai, q, n时用公式；当已知ai, q, n时，用公式. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列aia2 + a3an它的前n项和是S = a + a + a + an 123nIS = a + a + a + a2 n123nI a = a qn-1SnqS由 n1=a + a q + a q2 + a qn-2 + a qn-11 1 1 1 1=a q + a q2 + a q3 + a qn-1 + a qn n11111(1 - q)S a - a qnn 11a (1 - qn)论同上）.当q主1时，1- q当 q=1 时， Sn na公式的推导方法二：有等比数列的定义，aa12anan-1a + a Hb a23n-根据等比的性质，有a1 + a2 +齢S - an 4 = q S - annS - a n qS - an （1- q）S a - a q即 n nnn 1 n围绕基本概念，从等比数

3、列的定义出发，运用等比定理 公式的推导方法三：导出了公式S a + a + a + a a + q (a + a + a + a n 123n =1123n-1)_ a + qS _ a + q(S a )= 1n-1 = 1n nn (1 - q) Sn=01-竽（结论同上）解决问题有了等比数列的前 n 项和公式，就可以解决刚才的问题。由 ai=q = 2,n = 64 可得S a (1-qn) 1x (1-264)n 1 - q= 1-2 = 264 -1264 -1这个数很大，超过了 I，84x 1019。国王不能实现他的诺言。三 例题讲解例 1 求下列等比数列的各项的和1丄丄丄,27, -9,3,(1) 2 4 8 16 ； (2)19 243*选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式314921答案：(1)16 ； (2) 243131例2.已知公比为2的等比数列的前5项和为8，求这个数列的ai及选题目的：逆向应用公式答案：例 3.已知等比数列9,3,1,S，求使得Sn大于100的最小的n的值.选题目的：综合应用公式.S答案：使得n大于100的最小的n的值为7.例4.设数列

4、an的前n项和为Sn= 3n + a .当常数a满足什么条件时，an才是等比数 列？选题目的：沟通an与Sn的关系，灵活应用公式.答案：a二T四. 反思总结，当堂检测。：课本 66 页练习教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测五. 课后小结等比数列求和公式： 当 q=1 时，S = nan1时，a (1 - q n )1 - q六. 教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师 生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进 行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。板书设计：略2.5.1等比数列的前n项和（1）学案课前预习学案一.预习目标：了解等比数列的前n项和公式及公式证明思路 二预习内容:等比数列前n项和公式的推导方法。.课内探究学案一. 学习目标：1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题.； 学习重、难点：1.等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导； 2.灵活应用公式解决有关问题。二.

5、学习过程： 1.首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质.（2.探究：已知等比数列的首项al,公比q,项数n（或n项an）,求它的前n项和Sn的计算公 式.一种推导思想:错位相减，Sn=al + a2 + . + an-l + an=al+a1q + . + a1qn-2+a1qn-1. 在等号两边乘以q,得qSn=a1q+a1q2+. +a1qn-1+a1qn. 将两式的两端分别相减,就可消去这些共同项,得(1 q)S n=al 当q丰1时,a - a qS =n1-q 或 n1-qs =空1-qn)n二 na1S当 q=1 时, S还有没有其他都推导方法？反思总结：1 1 1四当堂检测：（1）求等比数列2 , 4 , 8，的前8项的和；（2）求等比数列 1， 2， 4，从第5项到第10项的和。课后练习与提高：选择题：1. 在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3 ,前三项和为21,则a3+ a4+ a5=（）A 33B 72C 84D 1892.等比数列中，役=9,广243,则的前4项和为（）A. 81 B. 120 C. 168 D. 1923.在公比为整数的等比数列3中，如

6、果1 + 4 = 18, 2 + 3 = 12,那么该数列的前8项之 和为（）225A. 513B. 512 C. 510D.二.填空题：1.已知：a1=2, S3=26.则 q=2. 已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为 31，则三数为三解答题：设数列广（a）n_1 （丰0），求这个数列的前n项和。参考答案: 当堂检测2551.2562.1008课后练习与提高1C 2B 3 C4. q=3 或 q二45.1 ,5 , 右或 25, 5, 1解：.理(-住严(与起无关的常数)该数列是等比数列，首项为b当T时，该数列的公比为1，则図=气当冬工一1时，该数列的公比不为1,则1+戈2.5.2等比数列的前n项和(2)教案临清二中 编辑:王春兰审核：李其智教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基 础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思教学目标：知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的1n,q中知道三个数求另外两个数的一些

7、简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的 思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事 求是的科学态度.教学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 教学难点灵活使用公式解决问题学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用. 在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。教学过程一. 课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：时，s 丄(1 一 qn)n当 q=1 时，S = nan1当已知ai, q, n时用公式；当已知ai, q, n时，用公式二. 讲授新课1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n, S3n,S2 + S2 二 S （S + S ）求证： n 2n n 2n 3n2、 设a为常数，求数列a，2a2，3a3,，nan,的前n项和；三例题讲解例1已知等比数列中，S4 = 2 S8 =-1640，求S12设问1：能否根据条件求1和q ?如何求？ 一定要

8、求q吗？（基本量的确定） 设问 2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？ （探究等比数列内在的联系） 设问3：若题变：数列b 是等比数列，且Sn = a，S2 n=丰0）求S S2nnSnba二 S + (S S )qn 二 b + (b a)2 n2 nnaa 2 ab + b 21 a 1o引导学生归纳:若n是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为Sn，公比为qn的 等比数列.（学生类比等差数列相关结论）说明解题首先考虑的是通法,先确定基本量a1q然后再求和，其次分析题目的特点、内在 结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性.例 2某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先1支付货款的3，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息. 已知欠款的月利率为 0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？假设货主每月还商店a元，写出在第i(i=1236)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.每月的还款额为多少元(精确到0.01)？ 引导学生,认真阅读题目,理解题意,月底等额还款,即每月末还款数一样，月底还款后的欠款数yi与第i-1个月底还款后的欠款数yi-1的关系是第 yi二叮1+ 5%)- a,(学生分析)三年内还清转化为数学语言是: y36022X 解(1)因为购买电脑时,货主欠商店3 的货款,即6000 3 =4000(元),又按月利率0.5%到第一个 月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi，则有y1=4000(1+0.5%)-ay2 =y1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-ay3=y2 ( 1+0.5%)- ay3=y2 ( 1+0.5%)- a=

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