高中数学北师大版必修1名师讲学稿第二章3函数的单调性

1、2017-2018学年高中数学(北师大版)必修 1名师讲学稿：第二章 3函数的单调性# / 18函数的单调性第一课时函数的单调性课就I主学,丛植才能楼奇预习课本P3637,思考并完成以下问题1函数y= f(x)在区间A上是增加的(减少的)是如何定义的？2函数的单调区间是如何定义的?3.函数的单调性是如何定义的?4单调函数的定义是什么?新知初探1. 函数在区间上增加(减少)的定义对于函数y= f(x)的定义域内的一个区间 A,(1) 如果对于任意两数X1 , X2 A,当XiX2时，都有f(X)Vf(X2),那么，就称函数y= f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y= f(X)在区间A上是递增的.(2) 如果对于任意两数Xi, X2 A,当Xif(x2),那么，就称函数y= f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y= f(x)在区间A上是递减的.点睛(1) 讨论函数的单调性时，必须指出在哪个区间内讨论，离开区间讨论单调性是无意义的.(2) 注意“任意”的含义，且指定区间必须是连续的.2. 单调区间与单调性(1) 单调区间如果y= f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称 A为单

2、调区间.(2) 单调性如果函数y= f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y= f(x)在这个子集上具有单调性.(3)单调函数如果函数y= f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或 减函数，统称为单调函数.点睛A而言的，在该区间内自变量 x的取但不能说在定义域上是单调函数，如(2)有些函数在定义域内的几个区间上都是单调的,(1)函数的单调性是相对于函数定义域内的某个区间 值必须是连续的.1y= -在(m , 0)和(0 , + m)上都是减少的，但它在定义域(一8, 0) U(0,+ g)上不是减少的.小试身手1 判断下列说法是否正确，正确的打“V”，错误的打“ X”.(1) 函数y= kx(k为常数，且kv 0)在R上是增函数.()(2) 函数y= x2在R上是增函数.()(3) 函数y= 1 在定义域内是减函数.()1(4) 函数y= -在区间(0,+g )上是减函数.()答案： X (2) X (3) X (4) V2. 下列函数f(x)中，满足“对任意X1,的是()1A. f(x)= xC. f(x)= |x 1|答案：A3.

3、 函数y= x2的单调递增区间为(A. ( g, 0C. (0,+g )X2 (0 ,+g )，当 X1 f(X2)”2B. f(x)= (x 1)2D. f(x)= x+ 1)B. 0,+g )D. ( g,+g )答案：A4.设函数f(x)= (1 2a)x + b是R上的增函数，则有(aV 2B. a1C. av 1答案：AD.1a 2题型一课堂讲练设计.举一能通类題用定义判断或证明函数的单调性9典例 证明函数y= x+ -在(0,3上为减函数.证明设0v X1 -2 3，则有-i+- - -2+XXiyi y2=iixr=(xi-2)1X1X2 0 x1 x2 3 , x1 x2 0,9即 1 0,即卩 yi y2.X1X29函数y= x+ -在 (0,3上是减函数.定义法判断或证明函数单调性的一个步骤 函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤： 第一步：取值.即设 Xi, X2是该区间内的任意两个值，且xi X2.第二步：作差准确作出差值f(Xi) f(X2)或f(X2) f(Xl).第三步：变形通过因式分解、配方、分子(分母)有理化

4、等方法，向有利于判断差的符：号的方向变形，一般变形为积的形式. 第四步：确定f(Xi) f(X2)或f(X2) f(Xl)的符号当符号不能直接确定时，可通过分类:讨论、等价转化，然后作差，作商等思路进行. 第五步：判断.根据定义作出结论.以上五个步骤可以简记为“取值一一作差一一变形一一定号一一判断”.活学活用判断并证明函数f(x)= x2+ 2x在R上的单调性.解：利用图像可判定f(x)在(, i是增函数，在(i ,+s )是减函数，下面用定义加以证明设 Xi, X2 ( 8, i)，且 Xi X2.则 f(xi) f(X2)= ( xi + 2xi) ( X2 + 2X2),= 2(xi X2) (xi+ X2)(xi X2),= (xi X2)2 (X 1 + X2) . V Xi X2 i. Xi X2 0 , Xi + X20, (Xi X2)2 (X1 + X2) 0,即 f(Xi) f(x2) 0, f(Xi) 0,x2 2x+ 1, xv 0,即y=：；2,x 0, x v 0.函数图像如图所示，单调增区间为(一8, 1, 0,1,单调减区间为1,0 , 1, +8).利

5、用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“，”将它们隔开或用“和”连接，不能用U”连接.活学活用x 3, xW 1,作出函数f(X)=*2的图像，并指出函数的单调区间.(x 2) + 3, x 1一 x 3, xw 1,2的图像如图所示.由图像可知：函x 2 2+ 3, x 1数的单调减区间为(一8, 1和(1,2,单调增区间为2 , + 8 ).解：f(x)=题点一：已知函数的单调性求参数1.函数 f(x)= x2+ 2(a 1)x + 2,(1)若函数f(x)的单调递减区间是(一8, 4,则实数a的值(或范围)是若函数f(x)在区间(一8, 4上单调递减，则实数a的值(或范围)是解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(一8, 4,且函数f(x)图像的对称轴为直线x=1 a,所以有 1 a = 4,即卩 a= 3.因为函数f(x)在区间(8 , 4上单调递减, 且函数f(x)图像的对称轴为直线x = 1 a,所以 1 a4,即 aw 3.答案：3

6、(2)( 8, 3题点二：禾U用函数的单调性比较大小2若函数f(x)在区间(一8,+8 )上是减函数，则下列关系式一定成立的是()A. f(a)f(2a)B. f(a2)v f(a)C. f(a2+ a)v f(a)D. f(a2+ 1)v f(a2)解析：选D 因为f(x)是区间( 8,+)上的减函数，且 a2+ 1 a2,所以f(a2+ 1)v2f(a ).故选 D.题点三：利用函数的单调性求解不等式3.已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x 2) v f(1 x),求x的取值范围.解：/ f(x)在1,1上为增函数，且f(x 2)v f(1 x), 1 x 2 1, 1 1 x 1,解得 1 0”的是()X1 X22A. f(x)= xB. f(x)= 3x + 12 1C. f(x)= x + 4x+ 3D. f(x)= x+ -解析：选 C ff x 0? f(x)在(0, + 8)上为增函数，而f(x) = -及 f(x) = 3x+ 1X1 X2x在(0, + 8)上均为减函数，故排除A、B.f(x) = x + 1在(0,1)上递减，在1,+ 8)上递增，故排除

7、D.3. 函数y= x2 3x+ 2的单调减区间是()A. 0,+ )C. 1,2B. 1,+ )解析：选D 由二次函数y= x2 3x+ 2图像的对称轴为 x=号且开口向上，所以该函数的单调减区间为一 , 2，故选D.x+ 1, x 0,亠口4.函数f(x)在R上是()X 1, xv0A .减函数B.增函数C .先减后增D.无单调性R上是增函数.解析：选B 画出该分段函数的图像，由图像可知，该函数在5.下列函数中，在(0,2)上为增函数的是()2C. y= x 4x+ 5D. y= 3x2 + 8x 10A. y= 3x+ 2解析：选D 显然A、B在(0,2)上为减函数，排除;对C,函数在(R, 2)上为减函数，也不符合条件;对D，函数在-4,所以在(0,2)上也为增函数.故选 D.6. 函数y= f(x)的图像如图所示，则函数 f(x)的单调递增区间是 .答案：(一a, 1和(1, + m )7. 函数f(x)= 2x2 mx+ 3,当x 2,+ )时是增函数，则 m的取值范围是 解析：由题意知m 2,解得m &4答案：( a, 88.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x 3)vf(2 x),则x的取值范围为 解析：/ f(x)是定义在R上的增函数，又 f(x 3)

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