高考数学第一轮复习 指数与指数函数

1、第4讲指数与指数函数【2014年高考会这样考】1考查指数函数的图象与性质及其应用2以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用3以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小【复习指导】1熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重2本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质. 基础梳理1根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n1且，nN*)，那么这个数叫做a的n次方根也就是，若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(2)根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示正负两个n次方根可以合写为(a0)na.当n为奇数时，a；当n为偶数时， |a|.负数没有偶次方根2有理数指数幂(1)幂

2、的有关概念正整数指数幂：anaa (nN*)；零指数幂：a01(a0)；负整数指数幂：ap(a0，pN*)；正分数指数幂：a(a0，m、n N*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m、nN*且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r、sQ)(ar)sars(a0，r、sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)x0时，0y1x0时，y1.在(，)上是减函数当x0时，0y1；当x0时，y1；在(，)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论(2)换元时注意换元后“新元”的范围三个关键点画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.双基自测1(2011山东)若点(a,9)在函数y3x的图象上，则tan的值为() A

3、0 B. C1 D.解析由题意有3a9，则a2，tan tan .答案D2(2012郴州五校联考)函数f(x)2|x1|的图象是()解析f(x)故选B.答案B3若函数f(x)，则该函数在(，)上是()A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值解析设yf(x)，t2x1，则y，t2x1，x(，)t2x1在(，)上递增，值域为(1，)因此y在(1，)上递减，值域为(0,1)答案A4(2011天津)已知a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，则()Aabc BbacCacb Dcab解析clog30.35log30.35log3，log23.4log221，log43.6log441，log3log331，又log23.4log2log3 ，log2 3.4log3 log4 3.6又y5x是增函数，acb.答案C5(2012天津一中月考)已知aa3，则aa1_；a2a2_.解析由已知条件(aa)29.整理得：aa17又(aa1)249，因此a2a247.答案747考向一指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)；(

4、2)ab2(3ab1)(4ab3).审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键解(1)原式 ab.(2)原式ab3(4ab3) ab3 ab . 化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂【训练1】 计算：(1)0.02720；(2).解(1)原式(1)221 49145.(2)原式aabba0b0.考向二指数函数的性质【例2】已知函数f(x)x3(a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解(1)由于ax10，且ax1，所以x0.函数f(x)的定义域为x|xR，且x0(2)对于定义域内任意x，有f(x)(x)3 (x)3(x)3 x3f(x)，f(x)是偶函数(3)当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，0.又x0时，x30，x30，即当x0时，f(x)0.又由(2

5、)知f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，则当x0时，x0，有f(x)f(x)0成立综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立当0a1时，f(x).当x0时，1ax0，ax10，ax10，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意综上可知，所求a的取值范围是a1. (1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(x)f(x)，来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法【训练2】 设f(x)是定义在R上的函数(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，)的单调性解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，即a0，即a210显然无解f(x)不可能是奇函数(2)因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，又对任意xR都成立，有a0，得a1.当a1时，f(x)exex，以下讨论其单调性，任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)ex1ex1 ex2ex2 ，x1

6、，x2(0，)且x1x2，ex1x21，ex1ex20，ex1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)，当a1时在(0，)为增函数，同理，当a1时，f(x)在(0，)为减函数考向三指数函数图象的应用【例3】(2009山东)函数y的图象大致为()审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性解析y1，当x0时，e2x10且随着x的增大而增大，故y11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.答案A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y，y，ylg(10x1)等【训练3】 已知方程10x10x，lg xx10的实数解分别为和，则的值是_解析作函数yf(x)10x，yg(x)lg x，yh(x)10x的图象如图所示，由于yf(x)与yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx对称的又直线yh(x)与yx垂直，yf(x)与yh(x)的交点A和yg(x)与yh(x)的交点B是关于直线yx对称的而yx与yh(x)的交点为(5,5)又方程10x10x的解为A点横坐标，同理，为B点横坐标5，即10.答案10难点突破3如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】 (2011福建五市模拟)设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2xex，若对任意的x(，)，恒有fK(x)f(x)，则K的最大值为_二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法【示例】 若f1(x)3|x1|，f2(x)23|xa|，xR，且f(x)则f(x)f1(x)对所有实数x成立，则实数a的取值范围是_

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