2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标)潘学功全解解析

1、2009年宁夏高考数学（理科）解析 石嘴山市光明中学 潘学功2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理工农医类）第I卷一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。1、已知集合A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，则A =（ ） A1，5，7 B3，5，7 C1，3，9 D1，2，3 【解析】A =1，5，7，选择A。2、复数（ ）A0 B2 C2 D2【解析】，选择D。3、对变量 有观测数据（，）（1，2，10），得散点图1；对变量有观测数据图1（，）（1，2，10）。由这两个散点图可以判断（ ）A变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D变量x 与y 负相关，u 与v 负相关【解析】图1的的散点分布在斜率小于0的直线附近，y随x的增大而减小，故变量x 与y 负相关；图2的的散点分布在斜率大于0的直线附近，u随v的增大而减小，故变量v 与v 正相关，故选C。4、双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A B2 C D1【解析】双曲线

2、=1的焦点（4，0）到渐近线的距离为，选A。5、有四个关于三角函数的命题： ：xR, +=； ：, ；：x，； ：。其中假命题的是（ ）A， B， C， D，【解析】：xR, +=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；是真命题，x,；是假命题，。选A。6、设满足，则（ ）A有最小值2，最大值3 B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值 D既无最小值，也无最大值【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A（2，0）时，z取得最小值，最小值为z2，无最大值，故选B。7、等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=（ ）A7 B8 C15 D16【解析】4，2，成等差数列，即，选C。8、如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是（ ）A BEF平面ABCDC三棱锥的体积为定值D异面直线AE、BF所成的角为定值【解析】A正确，易证，；B显然正确，；C正确，可用等积法求得；D错误。选D。9、已知O，N，P在ABC所在平面内，且，且=，则点O、N、P依次是ABC的（ ）A重心、外心、垂心

3、B重心、外心、内心 否是y=1开始输入x，hx0y=0x1y=x输出yx2结束x=x + h是否是否C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）【解析】；由；，。因此选C。10、如果执行右边的程序框图，输入，那么输出的各个数的和等于（ ） A3 B3.5 C4 D4.5【解析】第1步：y0，x1.5；第2步：y0，x1；第3步：y0，x0.5；第4步：y0，x0；第5步：y0，x0.5；第6步：y0.5，x1；第7步：y1，x1.5；第8步：y1，x2；第9步：y1，退出循环，输出各数和为：0.51113.5，选B。11、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（ ） A B C D 【解析】棱锥的直观图如右，则有PO4，OD3，由勾股定理，得PD5，AB6，全面积为：66265644812，故选A。12、用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值。设， ()，则的最大值为（ ）A4 B5 C6 D7【解析】画出y2x，yx2，y10x的图象，如右图，观察图象可知，当0x2时，f（x）2x，当2x3时，f（x）x2，当x4时

4、，f（x）10x，f（x）的最大值在x4时取得为6，故选C。第II卷本试卷包括必考题和选考题两部分。第（13题）第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22题）第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为 【答案】。【解析】抛物线的方程为，设，则有。两式相减得 ，。所以直线的方程为。14、已知函数（，） 的图像如图所示，则= 【答案】。【解析】由图可知，所以。把（，1）代入有，所以。15、7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）。【答案】140。【解析】。16、等差数列的前n项和为，已知，则 【答案】10。【解析】由得到。所以（舍）或。又，从而。三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的

5、数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。【解析】方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 （如图所示）。第一步：计算AM。由正弦定理；第二步：计算AN 。由正弦定理； 第三步：计算MN。由余弦定理得 。方案二：需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离（如图所示）。 第一步：计算BM 。由正弦定理；第二步：计算BN 。由正弦定理；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第三步：计算MN 。 由余弦定理得。18、（本小题满分12分）某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）从A类工人中的抽查结

6、果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2。表1：生产能力分组100，110）110，120）120，130）130，140）140，150）人数4853表2：生产能力分组110，120）120，130）130，140）140，150）人数63618（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图图2 B类工人生产能力的频率分布直方图（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）。 。【解析】（）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为。 （）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名。 故 ，得， ，得。 频率分布直方图如下： 从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小。 （ii） ， ， 。 A类工人生产

7、能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1 。19、（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。【解析】解法一：（）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以，得。()设正方形边长，则。又，所以, 连，由（）知，所以， 且，所以是二面角的平面角。由，知，所以，即二面角的大小为。（）在棱SC上存在一点E，使BE平面PAC。由（）可得，故可在上取一点，使，过作的平行线与的交点即为。连BN。在BDN中知，又由于，故平面BEN平面PAC，得BE平面PAC，由于，故。解法二：（）连，设交于于，由题意知。以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。设底面边长为，则高。于是， ， ， 。故，从而。 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则，所求二面角的大小为。（）在棱上存在一点，使BE平面PAC。由（）知是平面的一个法向量，且。设 w.w，m 则，而，即当时，。而不在平面内，故。20、（本小题满分12分） 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 【解析】()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，解得，所以椭圆的标准方程为。（）设，其中。由已知得，因为点在椭圆上，所以，从而，化简得

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