量子统计系综的基本原理

1、一量子统计系综的基本原理1近点统计系综理论统计力学研究的对象是大量粒子组成的系统。它的目的是一物质微观结构的动力学行为作为依据，应用统计的方法，解释物体在宏观上、整体上表现出来的物理性质。物质微观粒子的动力学状态遵从量子力学的规律，在此基础上建立的统计力学称为量子统计力学。近点统计力学是量子统计力学的经典极限。引进系综和系综平均的概念是系综理论主要内容。我们知道统计力学区别于力学的主要点在于：它不像力学那样，追求系统在一定初始条件下任何时刻所处的确切的动力学状态；而认为系统的动力学状态准从统计规律。大量处于相同宏观条件下,性质完全相同而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统的集合称为统计系综。系综理论中重要的物理量是密度函数。密度函数对于整个像空间的积分应是一个与时间无关的常数，等于相点的总数。因此引进几率密度函数是很方便的。几率密度函数随时间的变化满足方程 这个方程称为刘伟方程。它表明，只要给出某一时刻的几率密度函数就可以确定以后任意时刻的几率密度。容易看出，的函数形式与系统的宏观状态有关。如果系统处于平衡态，则几率密度函数必不显含时间，只能是的函数。 在平衡态的系综理论中，经常用

2、到微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系综。组成微正则系综的系统的特征是系统的能量、体积和总粒子数恒定，满足和与温度恒定的大热源相接触，具有确定粒子数和体积的系统组成的统计系综称为正则系综。正则系综的宏观状态的特征是系统的体积、粒子数和温度恒定；与温度恒定的大热源和化学势恒定的大粒子源接触，体积一定的系统组成的统计系统系综称为巨正则系统，巨正则系统的宏观状态的特征是系统的体积、化学势和温度恒定巨正则分配函数由下式决定与温度恒定的热源相接触，并通过无摩擦的活塞与恒压强源相接触，粒子数恒定的系统所组成的统计系综称为等温等压系综。这种系综的宏观状态的特征是系统的粒子数、温度和压强恒定。等温等压系综的配分函数为2量子统计系综理论量子力学中，系统所处的动力学状态（或量子态）由波函数确定。在坐标表象中，一个具有个经典自由度的系统的动力学状态由波函数加以确定。在经典力学中，用相空间里的相点描述和确定系统所处的动力学状态，在量子力学里，则用态矢量描述和确定系统的状态。量子力学和经典力学在描述和确定系统的动力学状态上的不同所引起的差异，在讨论系统动力学函数（如能量、动量、角动量和粒子坐标等）的数值

3、时将明显地表现出来。量子统计力学中的纯系综就是大量处于相同的宏观条件下、性质完全相同都处于动力学状态、并各自独立的系统的集合。应用纯系综的概念，很多次独立地测量某一力学变量，可以看作是对组成系综的个别系统作这个力学量的测量。但是，对于由大量粒子组成的系统，为了确切知道太矢量，需要求解多粒子系统的薛定谔方程。这里我们遇到经典力学中同样的困难，我们对初始态知道得非常不确定，从而也就无法确切地知道任意时刻所处于的某种特定状态。如何解决这个问题呢？我们认为量子统计系统遵从统计规律性，即在一定宏观条件下，某一时刻系统以一定的几率处于某一量子态；系统的宏观量是相应的微观量对系统可能处的各种量子态的统计平均值。这样，对于量子系统，我们同样可以引进统计系综和系综平均值的概念。在量子统计力学中，统计系综定义为：大量处于相同的宏观条件下、性质完全相同而各处于某一量子态、并各自独立的系统的集合。常常把这样的量子统计系统称为混合系综。应该指出，密度算符给出了有关系统状态的最详尽的信息。由矩阵元所表示的态称为混合态，它是纯态以几率为权重的统计平均，而并非纯态的线性叠加。因此，量子统计力学的基本课题是确定系综的密

4、度矩阵。现在我们讨论混合系综的密度算符具有的主要性质：（1） 满足归一条件。（2） 密度矩阵是厄密矩阵。 由厄密算符的性质可知，对于密度算符存在一组正较完备系使密度矩阵对角化，而且密度算符的本征值是实数。（3）密度矩阵定义的平均值对于表象变换不变。（4）算符的平均值给出系统处于状态的几率。 前面我们已经看到，对于纯态，系统处于状态的几率由给出。现在求算符的平均值。 上式正是混合系综中系统处于状态的几率，因为按照定义，是系统处于的几率。（5）我们定义系综的熵为 式中是熵算符，定义为 （6）密度矩阵的矩阵元是有界的，因为另一方面，故可得3.非理想气体理论集团展开法 及处理量子统计问题的一般过程实际的系统中各粒子之间总是有相互作用的，因此处理这种各粒子之间具有相互作用的系统的问题是统计物理学中的重要方面。当气体密度不太高因而粒子之间的作用力在粒子的运动中所起的影响不太大时，可采用一种级数展开法。对实际气体的这方面工作由Ursell提出,Mayer等人推广完成了经典非理想气体理论，所用方法叫集团展开法，以及李政道，杨振宁等人将这一方法推广与量子非理想气体，在更高密度下，则以径向分布函数方法为有

5、效。 在量子统计中，处理问题的一般过程：（1）建立模型，写出系统的哈密顿量，用正则方程或薛定谔方程；（2）求解方程，知道能级结构，不能求解返回修改模型；（3）配分函数；（4）由求解的动力学函数或力学量给出宏观力学量（也就是应用我们上面给出的理论）；（5）和实验比较并进行修正。二、 量子统计理论小结（1）近独立子系在讨论由N个同样粒子所组成的系统，设粒子间的相互作用可以略去，即认为这些例子是整个力学系统的近独立子系。对于由近独立的粒子组成的体系，若粒子的自旋为半整数，则服从费米-狄拉克分布，体系波函数对于粒子的交换具有反对称性；若粒子的自旋为证书，则服从玻色-爱因斯坦分布，体系的波函数对于粒子的交换具有对称性。若粒子是定域粒子，可区分，则服从从玻尔兹曼分布。它们的分布函数分别是（2）当时，费米分布和玻色分布都过渡到玻尔兹曼分布。当时，理想费米体系在动量空间中形成费米球分布。对三位费米体系，费米能量对三维理想玻色体系，当(为凝结温度)时，出现在动量空间中的玻色凝结现象。零动量态的荔枝树是个大量。近年来，利用激光制冷、原子囚禁、蒸发冷却等技术，已经在实验上成功地实现玻色-爱因斯坦凝结。（3）

6、 费米体系和玻色体系的热力势是一旦知道，一切热力学量均可由它求出。若粒子的色散关系是，则可证明，因此算可通过求体系的内能得出。（4） 热力学第三定律可表述为：不可能用有限的手续把物体冷却到绝对零度；也可表述为；也可表述为在绝对零度时任何物体的熵为零。第三定律本质上是个量子统计规律。（5） 获得低温的方法由焦耳-汤姆孙效应、绝热去磁等。近年来由通过多普冷却、偏振梯度激光冷却等方法获得了更低的温度。（6） 在体系的能级数目有限，能量有上界，体系能够和外界隔绝，体系内部相互作用的驰豫时间很短，能够到平衡等条件下，体系可以出现负温度，负温度是比任何正温度以致无穷大的正温度还高的温度。对于负温度体系，出现粒子数反转现象。对于二维体系，粒子可以服从不同于玻色统计和费米统计的分布统计。任意子服从分数不相容统计。即使对理想任意子体系，也会出现由于分数统计带来的不同于理想玻色体系或理想费米体系的相互作用项。三量子流体当系统的温度足够低，密度足够高，以致粒子的平均热波长与粒子之间的平均距离可比拟时，量子效应在决定系统的宏观热力学性质上其主导作用，这种“流体”称为量子流体。在自然界中，He可以以液体状态一直

7、保持到近于绝对零度。量子流体更广的含义是：凡是量子效应其主导作用的相互作用多粒子流体系统，统称为量子流体。并且，量子流体是统计物理和凝聚态物理的一个重要研究领域。 1.相互作用多粒子系统低激发态的一般特征.元激发近独立子系所组成的体系中，体系的能量是个别粒子能量之和。但对于粒子之间有相互作用的宏观物体，体系的能量不再是单粒子能量之和。当相互作用较强时，粒子间彼此牵连，甚至个别粒子的态和能量已没有意义。原则上说，平衡性质仍可用计算巨配分函数来确定。互作用系在足够低温度下的热力学性质有低激发态能谱决定。而互作用系的低激发态可以看作是一些近独立的元激发或准粒子的集合。必须注意的是，元激发是组成整个体系的粒子的相互作用的产物，它属于整个系统，而不属于个别粒子。所有元激发能谱可以分为两大类：玻色型能谱，费米型能谱。玻色型能谱相应的元激发具有零或整数自旋，服从玻色统计，费米型能谱相应的元激发具有半整数自旋。其中应该注意的是，元激发遵从的统计不一定与组成的系统的粒子本身所遵从的统计一致。元激发图像研究互作用系的低温性质时，需确定的三个要素：（1） 元激发能谱；（2） 元激发服从的统计；（3） 元激发

8、散射机制。 2.简并性理想玻色气体 朗道理论中建立的准粒子模型很好的解释He的性质，但是其理论的核心 He的元激发能谱是基于实验分析一假设形式提出来的，要建立一个完整的超流理论，必须从微观上根据第一原理来确定He的能谱，亦即确定强相互作用的玻色液体的能谱，波戈留波夫考虑了一个稀薄的，具有弱排斥作用的近理想玻色气体模型，发展了波戈留波夫变换方法，部分的解决了这方面的问题。 所谓近理想气体是指一种稀薄的，即密度低的，有相互作用的粒子系统，在这种模型中假设粒子间的相互作用势的范围是有限的，并且这种相互作用不产生双粒子束缚态。由于假设温度低，可以把粒子间相互作用当作是对理想气体所加微扰来处理。 3.朗道正常的费米液体理论 狭义而言，只有低温下的液He才是费米量子液体，但通常把有相互作用的简并性费米体系称为量子费米液体。 朗道正常的费米液体理论是一种唯象理论，它的核心可归纳为三条基本假设。 朗道理论第一个基本假设：费米液体的低激发态可以按理想费米气体同样的原则构成，二者之间存在着一一对应的关系。 朗道理论第二个基本假设：准粒子之间的相互作用可以用某种平均场来描述，每个准粒子都受到周围其他准粒子所产生的平均场作用，个别准粒子的能量与周围其它准粒子的状态有关，亦即与分布有关。 朗道理论第三个基本假设：对于时空慢变化的外界扰动，准粒子分布函数满足玻尔兹曼方程。 4.超流费米液体 朗道的费米液体理论只适用于正常相，这时系统元激发能谱没有能隙，不可能导致超流，从微观上看，必须粒子之间的相互作用是排斥性的。实际上，费米液体还有另一种类型的元激发能谱，相应与粒子之间的相互作用是吸引性的情形。这时由于这种吸引作用，使费米面附近所有动量和自旋都有一对相反的粒子形成一种特殊形式的束缚态cooper对，导致理想气体的基态不稳定，并重新改组基态结构，结果元激发能谱出现能隙，这就是费米液体的超流相。四、相变理论和临界现象 1.利用热力学第二定律，可以给出平衡判据。平衡判据有熵判据，自由能的判据，吉布斯函数判据，焓判据，内能判据。它们使用的条件不同。不同的判据的条件是特性函数和独立变量关系的反映。2.利用平很判据可以给出热血平衡条件体系各处

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