第四章：平面向量、数系的扩充与复数的引入（教育精品）

1、五年高考真题分类汇编：平面向量、数系的扩充与复数的引入一填空题1.（2013浙江高考理）设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_【解析】本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力当x0时，0，当x0时，24，所以的最大值是2，当且仅当时取到最大值【答案】22（2013重庆高考理）已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_.【解析】本题考查复数代数形式的四则运算，意在考查考生的计算能力.2i，所以|z|.【答案】3（2013新课标高考理）已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.【解析】本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力根据数量积bc0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0得bta(1t)b0，即tab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.【答案】24（2013新课标高考理）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中

2、点，则AEBD_.【解析】本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力选向量的基底为AB，AD，则BDADAB，AEADAB，那么AEBD(ADAB)2.【答案】25（2013北京高考理）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.【解析】本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识，意在考查方程思想和考生的运算求解能力设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得2，所以4.【答案】4 6（2013江西高考理）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_【解析】本题考查向量的数量积、向量的射影及模长公式，意在考查考生的运算能力依题意得|e1|e2|1且e1e2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，|b|2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cosa，b.【答案】7（2013山东高考理）已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3，|AC|2.若AP ABAC，且AP

3、BC，则实数的值为_【解析】本题考查平面向量的线性运算、数量积运算、向量垂直的充要条件等基础知识BCACAB，由于APBC，所以APBC0，即(ABAC)(ACAB)AB2AC2(1)ABAC94(1)320，解得.【答案】8（2013天津高考理）已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_.【解析】本题考查复数的运算以及复数相等的概念，意在考查考生的运算求解能力因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.【答案】12i9（2013北京高考文）设复数z12i(i是虚数单位)，则|z|_.【解析】本题主要考查复数模的计算|z|.【答案】10（2013北京高考文）在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA(3,1)，OB(2，k)，则实数k_.【解析】本题主要考查向量的减法运算、向量垂直的充要条件因为ABOBOA(1，k1)，且OAAB，所以OAAB0，即311(k1)0，解得k4.【答案】411（2013江苏高考文）设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_【解析】本题考查复数的运算，复数的模的运算，意在考查学生的运算能力|z|(2i)2

4、|34i|5.【答案】512（2013江苏高考文）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若DE1AB2AC (1，2为实数)，则12的值为_【解析】本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力DEDBBEABBCAB(BAAC)ABAC，所以1，2，即12.【答案】13（2013安徽高考文）若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_【解析】本题主要考查平面向量数量积的运算和夹角等基础知识和基础运算对向量的模同时平方可得，|a|29|b|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以有4ab4|b|2，即cosa，b.【答案】14（2013山东高考文）在平面直角坐标系xOy中，已知OA(1，t)，OB(2,2)若ABO90，则实数t的值为_【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力ABOBOA(3,2t)，由题意知OBAB0，所以232(2t)0，t5.【答案】515（2013新课标高考文）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_.【解析】本题主要考查向量的数量积，意在考查考生的基础

5、知识与运算求解能力因为AEADAB，BDADAB，所以AEBD(ADAB)(ADAB)AD2ADABAB22.【答案】216（2013浙江高考文）设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_【解析】本题主要考查平面向量的线性运算及数量积的应用、模与数量积的关系、单位向量的概念等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力因为2，当且仅当时取“”，故的最大值为2.【答案】217（2013新课标高考文）已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.【解析】本题主要考查向量的基本知识及运算由题意，将bcta(1t)bb整理，得tab(1t)0，又ab，所以t2.【答案】218（2013天津高考文）i是虚数单位，复数(3i)(12i)_.【解析】本题主要考查复数的运算，意在考查考生的运算求解能力(3i)(12i)55i.【答案】55i19（2013天津高考文）在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60 , E为CD的中点若ACBE1 , 则AB的长为_【解析】本题主要考查平面向量的运算，意在考查考生的运算求解能

6、力设ABx，x0，则ABAD|AB|AD|cos 60，又ACBE(ADAB)1x2x1，得x，即AB的长为.【答案】20（2013湖北高考文）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.【解析】本题主要考查复数的运算及代数表示，考查考生的运算推理能力由复数的几何意义知，z1，z2的实部、虚部均互为相反数，故z223i.【答案】23i21 （2013四川高考文）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则_.【解析】本题主要考查平面向量的运算，意在考查数形结合的思想ABADAC2AO，故2.【答案】222（2012重庆高考理）若(1i)(2i)abi，其中a，bR，i为虚数单位，则ab_.【解析】(1i)(2i)13iabi，a1，b3，故ab4.【答案】423（2012上海高考理）计算：_(i为虚数单位)【解析】12i.【答案】12i24（2012上海高考理）在平行四边形ABCD中，A，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则AMAN的取值范围是_【解析】设x(0x1)，则AMAB

7、BMABxAD，ANADDNAD(1x)AB，AMAN(ABxAD)AD(1x)ABxAD2(1x)|AB|2(xx21)ABADx|AD|2(1x)|AB|2(x2x1)21x4(1x)x2x1(x1)260x1，(x1)262,5【答案】2,525（2012湖南高考理）已知复数z(3i)2(i为虚数单位)，则|z|_.【解析】因为z(3i)286i，所以|z|10.【答案】1026（2012江苏高考理）设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_【解析】abi53i，a5，b3，故ab8.【答案】827. （2012江苏高考理）如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF，则AEBF的值是_【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x,2)(0x)，由ABAFxx1，所以F(1,2)，AEBF(，1)(1，2).【答案】28（2012北京高考理）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_；DEDC的最大值为_【解析】法一：以AB为基向量，设AE (01)，则DEADADADCBAD)ABADABDCADABABDCCBDCCBDC最大值为1.【答案】1129.（2012浙江高考理）在ABC中，M是线段BC的中点，AM3，BC10，则AB_.【解析】2AMABAC，BCACAB，(2AM)2(AB

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