高考数学专题讲义： 函数性质

1、第三讲 函数性质高考在考什么【考题回放】1(江苏) 设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，则有（B）2(江苏) 设是奇函数，则使的的取值范围是（A）3（安徽卷）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）A0B1C3D54(北京) 对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）5(辽宁) 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）A0是的极大值，也是的极大值 B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值 D0是的极小值，但不是的极值6（天津卷）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 高考要考什么一、 单调性：1.定义：一般地，（1）对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，（2）当x1x2时，（3）都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就说（4）f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.要

2、注意定义引申：（1）、（2）、（4）（3）；（1）、（3）、（4）（2）如：是定义在上的递减区间，且0x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根， x1+x2=a， 从而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20， g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时， m0， m0， 或 g(1)=m2m20 g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2. 【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.变式：设函数，其中（1）解不等式（2）求的取值范围，使在

3、区间上是单调减函数。解：（1）不等式即为当时，不等式解集为当时，不等式解集为当时，不等式解集为（2）在上任取，则所以要使在递减即，只要即故当时，在区间上是单调减函数。【范例3】已知函数的定义域为，且同时满足：；恒成立；若，则有（1）试求函数的最大值和最小值；（2）试比较与的大小N）；（3）某人发现：当x=(nN)时，有f(x)2x+2.由此他提出猜想：对一切x(0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由解: (1)设0x1x21,则必存在实数t(0,1),使得x2=x1+t, 由条件得,f(x2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2, f(x2)-f(x1)f(t)-2, 由条件得, f(x2)-f(x1)0, 故当0x1时,有f(0)f(x)f(1). 又在条件中,令x1=0,x2=1,得f(1)f(1)+f(0)-2,即f(0)2,f(0)=2, 故函数f(x)的最大值为3,最小值为2. (2)解:在条件中,令x1=x2=,得f()2f()-2,即f()-2f()-2, 故当nN*时，有f()-2f()-2f()-2f()-2=, 即f()+2. 又f()=f(1)=32

4、+, 所以对一切nN,都有f()+2. (3)对一切x(0,1,都有. 对任意满足x(0,1，总存在n(nN),使得 2+2=+2,故有.综上所述，对任意x(0,1,恒成立. 第十、十一讲 三角函数的图象与性质高考在考什么【考题回放】1.已知函数（、为常数，）在处取得最小值，则函数是（D）（A）偶函数且它的图象关于点对称 （B）偶函数且它的图象关于点对称（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）奇函数且它的图象关于点对称2定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为 （ D ）（A） （B） （C） （D）3函数y = xcosx的部分图象是( D )4 存在使 存在区间（a，b）使为减函数而0 在其定义域内为增函数 既有最大、最小值，又是偶函数 最小正周期为以上命题错误的为_. 5把函数y=cos(x+)的图象向右平移个单位，所得的图象正好关于y对称，则的最小正值为 6设函数f（x）=asinx+bcosx（0）的最小正周期为，并且当x=时，有最大值f（）=4.（1）求a、b、的值；（2）若角a、的终边不共线，f（a）=f（）=0，求tan（a+）的值.【专

5、家解答】（1）由=，0得=2. f（x）=asin2x+bcos2x.由x=时，f（x）的最大值为4，得（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2+）=4sin（2+）=0.sin（2+）sin（2+）=0. cos（+）sin（）=0、的终边不共线，即k（kZ）， 故sin（）0.+=k+（kZ）.tan（+）=.高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.【热点透析】三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 3 三角函数与实际问题的综合应用 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用突破重难点【范例1】右图为y=Asin(wx+j)的图象的一段，求其解析式。解析 法1以M为第一个零点，则A=，所求解析式为点M（在图象上，由此求得所求解析式为法2. 由题意A=，则图像过点 即 取所求解析式为 【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A取正值. 2. 由图象求解析式或由代数条件确定解析式时,应注意:(1) 振幅 A=(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为, 由此推出的值.(3) 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.【范例2】已知函数，（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。解析 （1）由题意得sinx-cosx0即，从而得，函数的定

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