梯度下降法理论及部分代码实现
2页梯度下降法梯度下降法是一种最优化算法,常用来优化参数,通常也称为最速下降法。梯度下降法是一般分为如下两步:1)首先对参数赋值,这个值可以是随机的,也可以让是一个全零的向量;2)改变的值,使得J()按梯度下降的方向进行减少。以一个线性回归问题为例,应用libsvm包里的数据heart_scale.mat数据做测试。假设要学习这么一个函数:那么损失函数可以定义成: (1)其中X看以看成一行一行的样本向量,那么就是一列一列的了。目标很简单,就是求损失J最小值时候的解:先直接求导,对于求导过程,详解如下:首先定义损失变量:那么损失函数就可以表示成:一步一步的求导:再求:那么把分步骤合起来就是:令导数为0,求此时的,整理一下,有:用矩阵符号将上面的细节运算抽象一下:让导数为0,那么求得的解为:求解矩阵的逆复杂度有点儿高,可以用梯度下降来求解: (2)其中就是下降的速度,一般是一个小的数值,可以从0.01开始尝试,越大下降越快,收敛越快。迭代终止的条件取:部分代码如下:w_old=zeros(size(X,2),1);%初始化参数wk=1;while 1 minJ_w(k) = 1/2 * (norm(X*w_old - Y)2; %损失函数 公式(1) %norm默认为L2标准化 w_new = w_old - gamma*(X*X*w_old - X*Y);%梯度下降公式%公式(2)if norm(w_new-w_old) epsilon %终止条件 W_best = w_new; break; end w_old = w_new; k=k+1;end实验结果:
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