基于0-1规划及多目标规划问题的DVD在线租赁问题论文

1、（此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！）基于0-1规划及多目标规划问题的DVD在线租赁问题摘 要本文是在DVD在线租赁背景下，根据会员的偏爱指数，对DVD的租赁与归还，网站对DVD的采购及分配问题进行分析。同时要考虑会员的最大满意度以及使商家达到最大的收益额，本文主要利用线性规划思想对问题做了模型研究。对问题一是在预知会员需求量的情况下，确定5种DVD购买量的问题。本文依据不同租赁周期进行建模分析，并建立了基于DVD实际可租用次数的通用模型，并利用LINGO进行求解。求出保证至少50%会员一个月内看到5种DVD的所需购买量分别为：DVD1为6250张，DVD2为3125张，DVD3为1563张，DVD4为782张，DVD5为313张。保证至少95%会员一个月内看到5种DVD的所需购买量分别为：DVD1为3959张，DVD2为1980张，DVD3为990张，DVD4为495张，DVD5为594张。对问题二是在预知DVD总量的情况下，进行的一次分配问题。本文在建立模型之前，首先对会员偏爱指数进行了处理，排出了0对模型的干扰，然后通过建立0-1整数线性规划的模型，利用LINGO进行

2、最大满意度求解以及对应的最优分配。求出最大满意度为，以及前三十名会员的DVD分配情况。对于问题三,运用多目标规划，求解每种DVD的购买量及对DVD的分配，使之达到满意度最大。由于有60%的会员每月租赁DVD两次，而另外40%的会员每月租赁一次，所以进行分段求解。第一次租赁时，建立多目标规划模型，由赋权得，满意度最大为2895，购买量为2850；第二次租赁时，考虑到第一次归还的情况，得出100种DVD购买总数为3111张。对于问题四，基于现实生活中会出现会员拖延归还时间，损坏DVD，以及每月租赁次数较少的情况，本文给出了两条营销建议：1、建议DVD租赁公司建立会员诚信制，以减少DVD损坏情况及规范归还秩序。2、增加每月租赁次数，增加的次数由会员自行承担邮费，为网站增加部分收益。关键字：DVD在线租赁 0-1规划 多目标规划 期望值 最优分配一、 问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。如在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方

3、式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1. 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了表1数据。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。现假设网站有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD所需准备的张数；以及为保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD所需准备的张数。2. 表2中列出了网站上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单对这些DVD进行一次分配，使会员获得最大的满意度。并具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得了哪些DVD。3. 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。从网站经营管理人员的角度出发，考虑如何购置DVD数量以及如何对这些D

4、VD进行分配，从而使一个月内95%的会员得到他想看的DVD并且满意度最大。4. 从网站经营管理人员的角度出发，对DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题进行研究，并提出问题及建立相应的数学模型。二、 问题分析2.1问题一的分析商家根据问卷调查1000个会员对这些DVD的偏爱指数对DVD进行采购，类似于采购最优化问题。基本思路就是根据已知条件，分别计算出DVD在一个月和三个月内的流转次数，然后结合会员对各种DVD的满意度求出商家应采购的最小DVD总数。2.2问题二的分析根据DVD已知的存储量，进行一次分配，是分配最优化问题。基本思路就是通过建立0-1整数线性规划进行分析，在建立模型之前，首先对表2所给的偏爱指数进行处理，排除掉0对建模的干扰，然后利用偏爱指数（偏爱指数越小偏爱度越大）进行分配，使分配达到会员满意度最大。2.3问题三的分析分析题目所给条件，商家不仅要使DVD购买量最少，又要满足会员的满意度最大，很明显是一个多目标规划问题。由于一个月有租赁一次和两次的会员，所以进行分阶段求解。第一阶段，利用表二随机抽取950人，得出购买方案；第二次租赁在月中进行，此时根据第一阶段的DVD被6

5、0%会员归还数量，考虑是否继续购买DVD。2.4问题四的分析以网站经营管理者的角度，分析DVD的需求预测、购买和分配中对网站有哪些地方值得研究，主要立足于哪些方面对网站有益，可以增加网站的利润，从这个角度出发考虑问题。可以从增加网站租赁次数以增加利润额，及减少DVD损坏，降低成本等方面考虑。三、 模型假设1. 问卷调查中反映的会员情况，与现实生活中的会员情况大致相符；2. 每个会员每次租赁的3张DVD种类都不相同；3. 会员一个月内不会重复租赁同一种DVD；4. 设一个月30天，每月租赁DVD两次的会员在一号租借十五号归还，归还后再租借其他DVD直到月底归还；每月租赁DVD一次的会员在一号租借月底归还；5. 邮寄时间可以忽略不计；6. 租赁过程中DVD不会出现损坏情况；7. 由于题目中缺乏DVD的相关信息，所以本文假设不同的DVD采购价格相同。四、 符号说明调查的1000位会员中愿意观看5种DVD的人数； 5种DVD愿意观看的人数与调查的总人数之间的比；网站的10万个会员中愿意观看5种DVD的人数；每张DVD在一个月中实际被租赁的平均次数；每月租赁两次的会员所占总人数的比例； 第种DV

6、D的数量； 能看到5种DVD的会员占总人数的比例；网站需要准备的5种DVD总张数；第位会员是否租赁第种DVD； 第位会员对第种DVD碟片的偏好指数；总体满意度；表示第位会员是否租赁到自己想看的DVD； 多目标规划模型中的权重，本文取值；第二次DVD租赁中第位会员对第种DVD的相应满意度；表示网站根据第二次租赁时第个人的需求网站采购DVD的数量。五、 模型的建立与求解5.1问题一 5.1.1模型的建立 根据题目中给出的调查1000位会员中愿意观看5种不同DVD的人数，计算出每种DVD愿意观看的人数与调查的总人数之间的比例关系： 计算结果如表一：表一 对1000个会员调查的结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510比例关系 0.20.10.050.0250.01根据表一的比例关系，可计算出网站现有10万个会员中，对这5种DVD愿意观看的人数： 得出数据为表二：表二 对10万会员的推断DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5比例关系0.20.10.050.0250.01愿意观看的人数 2000010000500025001000又考

7、虑到，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%会员每月租赁DVD一次,而每张DVD被租赁的机率是均等的。所以对每张DVD碟片来说，它在一个月中实际可被租赁的次数为： 其中表示每月租赁两次的会员所占比例，本题为；表示每月租赁一次的会员所占比例，本题为。设第种DVD至少准备的张数为，则第种DVD在一个月内实际可被租赁的次数为： 又根据一位会员对应一张DVD碟片，所以要保证至少50%的会员在一个月内能够看到该DVD，只需满足在一个月内第种DVD的实际可租赁次数比租赁第种DVD的人数多或者正好相等即可，即： 其中表示能够看到该DVD的会员所占比例。所以为求5种DVD准备张数最少，可以建立模型如下1： 模型的求解一个月内至少50%的会员看到DVD的情况下： 又由题意可知 数据为表二，以上数据代入模型中的约束条件，得： 使用LINGO软件求解模型（程序代码见附录一（1）。所得结果为。考虑到DVD张数应为整数，所以实际购买量如表三： 表三 保证至少50%会员一个月内看到该DVD的所需购买量DVD名称购买量DVD16250DVD23125DVD31563DVD4782DVD53135.1.2模型

8、的建立三个月内至少95%的会员能够看到该DVD与一个月内至少50%的会员能够看到该DVD分析情况类似。基于上文的假设，所有被租赁的DVD在月末都会被归还回来，相当于每月的租赁情况都是独立且等价的。所以三个月内第种DVD实际可租赁次数为： 故要使5种DVD准备张数最少，在三个月内至少95%的会员看到DVD的情况下，模型应为： 模型的求解三个月内至少95%的会员看到DVD的情况下： 其他数据与5.1.1中数据相同。将数据带入模型，使用LINGO软件求解（程序见附录一（2）。所得结果为。考虑到DVD张数应为整数，所以实际购买量如表四：表四 保证至少95%会员三个月内看到该DVD的所需购买量DVD名称购买量DVD13959DVD21980DVD3990DVD4495DVD55945.2问题二模型的建立已知，网站上100种DVD的现有张数，合理地分配给1000位在线订单地会员，并使会员的满意度获得最大。对现有碟的分配是一个线性规划问题，本文通过分析与假设建立0-1整数线性规划模型。在0-1整数规划模型中： 由题可知，第位会员对第种碟片的偏好指数为0-10；其中数字越小表示会员的偏爱程度越高，而数

9、字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。所以为了在计算中排除掉0的干扰，本文首先对表2中的数据进行修正，修正后偏好指数为：偏好指数不为0时： 偏好指数为0时： 故第位会员对第种碟片的满意度为： 本次规划的目的是获得总体满意度最大，所以目标函数为：会员租赁的第种DVD总数不可能超过网站第种DVD现有张数： 又根据租赁规则，会员每次租赁不得超过3张： 综上所述，可建立0-1整数规划模型如下2： 模型的求解使用LINGO软件读取题目中表2给出的偏好指数数据，并进行0-1整数规划模型的求解（程序见附录二）。求得所有会员的最大满意度之和为 。前30位会员获得具体DVD如下表：表五 最大满意度下前30名会员获得的DVD情况表会员编号获得的DVD编号会员编号获得的DVD编号C0001D008 D082 D098C0016D006 D084 D097C0002D006 D042 D044C0017D047 D051 D067C0003D004 D050 D080C0018D041 D060 D078C0004D007 D018 D041C0019D067 D084 D086C0005D011 D066 D068C0020D

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