全国高中数学联赛试题分类汇编： 2函数与方程 Word版含答案

1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019A1、已知正实数满足，则的值为 答案： 解析：由条件知，故，所以。2019A二、（本题满分 40 分）设整数满足 记，求的最小值并确定使成立的数组的个数解析：由条件知 由于及（）均为非负整数，故有且于是 10 分由、得，结合及，可知 20 分 另一方面，令，（），此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而的最小值30 分 以下考虑的取等条件此时，且中的不等式均取等， 即，（）。因此，且对每个（），中至少有两项等于易验证知这也是取等的充分条件 对每个（），设中等于 的项数为，则为正整数，且，即 ，该方程的正整数解的组数为，且每组解唯一对应一个使取等的数组，故使成立的数组有个40 分2019B 10. （本题满分20分）设均大于，满足，求的最大值。解析：设，由，可知。由条件及换底公式得，即，由此令（），则，得。所以，当且仅当，即时取得等号，相应的，所以的最大值为。2018A 5、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为 答案：解析：由为偶函数及在区间上严格递减知，在上递增，结合周期性知，

2、在上递增，又，所以不等式等价于，又所以，即不等式的解集为2018A，B 9、（本题满分16分）已知定义在上的函数为，设是三个互不相同的实数，满足，求的取值范围。解析：不妨设，由于在上递减，在上递增，在上递减，且，结合图像知：，且。由得，即，此时，又，由得，所以。2018B 7、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为 答案：解析：由为偶函数及在区间上严格递减知，在上递增，结合周期性知，在上递增，又，所以不等式等价于，又，即不等式的解集为.2017A1、设是定义在上函数，对任意的实数有，又当时，则的值为 答案： 解析：由条件知，即，故，即函数的周期为，所以2017B 3、设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为 答案：解析：由条件知，两式相加消去，可知：，即.2016A 3、正实数，均不等于，若，则的值为 答案：解析：令，则，条件化为，由此可得，因此2016A 10、（本题满分20分）已知是上的奇函数，且对任意，均有。求的值。解析：设=1，2，3，），则在中取，注意到，及为奇函数可知5分即，从而10分因此20分2015A1、设、为两不相等的实

3、数，若二次函数满足，则的值为 答案：解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得，即，所以2015A 9、（本题满分16分）若实数满足，求的最小值。解析：将分别记为，则由条件知，故8分因此，结合平均值不等式可得，12分当，即时，的最小值为（此时相应的值为，符合要求） 由于，故的最小值16分2016B 4、已知,均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为 答案：解析：由条件知 由图像的对称性，可得结合知， 由、解得从而另解：因为， 所以 因为的图像关于直线对称，所以 又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，从而 将、代入，再移项，得 在式中令，得 由、解得于是2014A1、若正数、满足，则的值为 答案：解析：设，则，从而。2015B1、已知函数，其中为常数，如果，则的取值范围为 答案： 解析：，所以，解得：2015B 2、已知为偶函数，且，则的值为 答案： 解析：由己知得，即=20152014A 3、若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 答案： 解析：在上，单调递增，等价于，即。在上，单调递增，等价于，即，因此实数的取值范围是2014B1、若函数

4、的图像是由依次连接点，的折线，则 答案： 解析：可求得直线与函数图像的交点为，即，根据反函数的性质知。2014B 8、设，是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积为 答案： 解析：显然的图像与轴围成一个半圆，我们用表示与轴围成的图形。直线是半圆的对称轴，它将分成左右两个部分。我们知道：（），这个式子的几何意义如下图所示：根据祖暅原理的二维形式，的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。即我们要求的面积是。2014B二、（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数（）与其反函数的图像恰有三个不同的交点. 求实数的取值范围，并证明你的结论。解析：由题意可得其反函数，记与其反函数的交点坐标为，则，两式子相减得，得或，若，显然两个函数的图像都在第一象限，所以，联立和，得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相符，故当时，联立和，得交点；联立和，得交点或，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故解得，即所求的范围为。2013A 5、设为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为 答案：解析：由题意得，所以，当且仅当，即时，故所求最大值为。2013A 7、若实数满足，

5、则实数的取值范围为 答案：解析：令，显然，且，即为，亦为（，），以为坐标作图如图示，在平面内，的轨迹为如图所示的实线部分含原点，因此，即。2013A 11、（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，使得对任意的实数均有。解析：已知即可变为：先寻找所满足的必要条件。式中，令，的对任意的都有，由于，故可以取到任意大的正值，因此必有，即。式中，令，得，即对任意实数，有记，即 要恒成立，则，即，下面证明对满足的任意实数对及任意实数，总有成立，令恒成立，事实上，在成立时，有，又，可得综上所述，满足条件的为。2013B 2、设为虚数单位，则 答案：解析：因为2013B 5、在区间中，方程的解的个数为 答案：解析：因为当时，方程无解；当时，做出及的图像即可得到。2013B 6、定义在实数上的函数的最小值是 答案：解析：因为，知，又当时，所以所求最小值为。2013B 7、设为实数，函数满足：对任意，则的最大值为 答案：解析：由题意得，所以，当且仅当，即时，故所求最大值为。2012A 3、设，则的最大值为 答案：解析：不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故2012A 6、设函数是定义在上的奇函

6、数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 答案：解析：由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是2012A 9、（本题满分16分）已知函数，.若对任意,都有，求实数的取值范围；若，且存在,使得，求实数的取值范围；解析：令，则，函数即为，由即对任意恒成立，即，解得，故所求实数的取值范围为因为，所以的对称轴，有在上递增，所以的最小值为，即的最小值为，由，解得，又，故所求实数的取值范围为2012B 4、若关于的不等式组，（）的整数解有且只有一个，则的取值范围为 答案：解析：由解得或，所以不等式组的唯一整数解只可能为或。记函数，由于对称轴，所以整数解只能是，因此有，解得，故所求范围为。2012B 7、设函数是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 答案：解析：由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是2012B 9、（本题满分16分）已知函数，.若对任意,都有，求实数的取值范围；若，且存在,使得，求实数的取值范围；解析：令，

7、则，函数即为，由即对任意恒成立，即，解得，故所求实数的取值范围为因为，所以的对称轴，有在上递增，所以的最小值为，即的最小值为，由，解得，又，故所求实数的取值范围为2011A 2、函数的值域为 答案： 解析：提示：设，且，则设，则，且，所以 2011A 3、设为正实数，则 答案： 解析：由，得又 ，即 于是 再由不等式中等号成立的条件，得与联立解得或，故2011A 9、（本题满分16分）已知函数，实数（）满足，.求实数的值。解析：因为，所以，所以或，又因为，所以，所以又由有意义知，从而，于是所以从而又，所以，故 解得或（舍去）把代入解得 所以 ， 2011B 3、若正实数满足，则 .答案： 解析：由，得又 ，即 于是 再由不等式中等号成立的条件，得与联立解得或，故2011B 9、（本题满分16分）已知实数满足：，.求实数的取值范围.解析：令，由得，代入得由方程有实根，得，解得。由方程及可得，又，所以，即，解得，综上可得，即，所以实数的取值范围为。2011B三、（本题满分50分）设实数，且满足，求的最大值.解析：由已知等式可得，令，则，则式等价于易知.令，则。设，则。当时，由平均不等式得所以，从而，整理得，即，所以。式中等号成立的条件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大值为。2010AB1、函数的值域为 答案： 解析：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2010AB 2、已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 答案：解析：令，则原函数化为，即.由， 及 知 即 . （1）当时（1）总成立；对；对.从而可知 2010AB 5、函数（，且）在区间上的最大值为，则它

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