高三理数一轮复习:第六章数列
14页1、第六章 数 列高考导航考试要求重难点击命题展望1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式); (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念;(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式;(3)能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.本章重点:1.等差数列、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质;2.注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.本章难点:1.数列概念的理解;2.等差等比数列性质的运用;3.数列通项与求和方法的运用.仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式及性质,在解答题中,会保持以前的风格,注重数列与其他分支的综合能力的考查,在高考中,数列常考常新,其主要原因是它作为一个特殊函数,使它可以与函数、不等式、解析几
2、何、三角函数等综合起来,命出开放性、探索性强的问题,更体现了知识交叉命题原则得以贯彻;又因为数列与生产、生活的联系,使数列应用题也倍受欢迎.知识网络6.1数列的概念与简单表示法典例精析题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式: (1)7,77,777,7 777,(2),(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,【解析】(1)将数列变形为(101),(1021),(1031),(10n1),故an(10n1).(2)分开观察,正负号由(1)n1确定,分子是偶数2n,分母是13,35,57, ,(2n1)(2n1),故数列的通项公式可写成an(1)n1.(3)将已知数列变为10,21,30,41,50,61,70,81,90,.故数列的通项公式为ann.【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法,观察归纳是由特殊到一般的有效手段,本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律,从而求得通项.【变式训练1】如下表定义函数f(x):x123 45f(x)54312对于数列an,a14,anf(an1),n2,3
3、,4,则a2 008的值是()A.1B.2C.3 D.4【解析】a14,a21,a35,a42,a54,可得an4an.所以a2 008a42,故选B.题型二应用an求数列通项【例2】已知数列an的前n项和Sn,分别求其通项公式:(1)Sn3n2;(2)Sn(an2)2 (an0).【解析】(1)当n1时,a1S13121,当n2时,anSnSn1(3n2)(3n12)23n1, 又a11不适合上式,故an (2)当n1时,a1S1(a12)2,解得a12,当n2时,anSnSn1(an2)2(an12)2, 所以(an2)2(an12)20,所以(anan1)(anan14)0,又an0,所以anan14,可知an为等差数列,公差为4,所以ana1(n1)d2(n1)44n2,a12也适合上式,故an4n2.【点拨】本例的关键是应用an求数列的通项,特别要注意验证a1的值是否满足“n2”的一般性通项公式.【变式训练2】已知a11,ann(an1an)(nN*),则数列an的通项公式是()A.2n1B.()n1C.n2 D.n【解析】由ann(an1an).所以ann,故选D.题型三利
4、用递推关系求数列的通项【例3】已知在数列an中a11,求满足下列条件的数列的通项公式:(1)an1;(2)an12an2n1.【解析】(1)因为对于一切nN*,an0,因此由an1得2,即2.所以是等差数列,(n1)22n1,即an.(2)根据已知条件得1,即1.所以数列是等差数列,(n1),即an(2n1)2n1.【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法,尤其是后者,可以通过进一步的计算,将其进行转化,构造新数列求通项,进而可以求得所求数列的通项公式.【变式训练3】设an是首项为1的正项数列,且(n1)anaan1an0(n1,2,3,),求an.【解析】因为数列an是首项为1的正项数列,所以anan10,所以10,令t,所以(n1)t2tn0,所以(n1)tn(t1)0,得t或t1(舍去),即.所以,所以an.总结提高1.给出数列的前几项求通项时,常用特征分析法与化归法,所求通项不唯一.2.由Sn求an时,要分n1和n2两种情况.3.给出Sn与an的递推关系,要求an,常用思路是:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先
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