2020届高三数学立体几何专项训练(文科)

1、2020届高三数学立体几何专题(文科)吴丽康2019-111.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA，平面ABCD,E为PD的点.(I)证明：PB/平面AEC;I-(n)设AP=1,AD=q3,三棱锥P-ABD的体积V=Y3,4求A点到平面PBD的距离.2.如图，四棱锥P-ABCD中，AB/CD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)求证：CE/平面PAD;(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD/平面CEF?若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由.3如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC，平面ABCD,且PAXAC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC/AD,ABXAD,AB=BC=1.点E,F分别为侧棱PB,PC上的点,一PEPF且PE=0).PBPC(1)求证：EF/平面PAD;1,(2)当42时，求点D到平面AFB的距离.4.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形.证明：平面AiBD/平面CDiBi;(2)若平面ABCDA平面82心=直线1,证明：BiDi/l.5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是P

2、C的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP/GH.f6 .如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,ABLAD,ACXCD,/ABC=60,FA=AB=BC,E是PC的中点.证明：(1)CD，AE;(2)PD,平面ABE.(1)求证:AD / EF;(2)求证:PBL平面 AEFD;7 .(2018北京通州三模，18)如图，在四锥P-ABCD中，平面PAB，平面ABCD,四边形ABCD为正方形APAB为等边三角形,E是PB中点，平面AED与棱PC交于点F.(3)记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出刍的值.D8如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是/DAB=60且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(1)求证：BG，平面PAD;(2)求证：ADXPB;若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF，平面ABCD?并证明你的结论.9.(2016高考北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC，平面ABCD,AB/DC,DCXAC.(1)求证：DC,

3、平面PAC;(2)求证：平面PABL平面PAC;设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA/平面CEF?说明理由.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:AB/EF;(2)若AFLEF,求证：平面PAD，平面ABCD.11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,PA=AB=BC=43,AD=CD=1,/ ADC = 120,点M是AC与BD的交点，点(1)证明：MN /平面PDC;(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.1N在线段 PB上，且 PN=-PB 412.(2016高考四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PAXCD,AD/BC,，一一。1/ADC=/PAB=90,BC=CD=2AD.在平面PAD内找一点M,使得直线CM/平面PAB,并说明理由；，卜.(2)证明：平面PABL平面PBD.13. (2016高考江苏卷)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中,的中点，点 F在侧棱B1B上，且B1DXA1F, A1CA1B1.求证：(1)直线DE/平面A1C1F;(2)平面

4、B1DEL平面 A1C1F.D, E分别为AB, BC14.【2014,19如图，三棱柱 ABC ABG中,侧面BBGC为菱形，BC的中点为。，且AO 平面BBQC .(1)证明：BC AB;(2)若 AC AB1, CBB 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC ABC1 的高.15.(2017 天津，文 17)如图，在四棱锥 P-ABCD 中,AD，平面 PDC,AD II BC, PD PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值(2)求证:PDL平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值16.(2016高考浙江卷)如图，在三棱台 ABC /ACB=90 , BE=EF = FC = 1, BC = 2,(1)求证：BF,平面 ACFD;DEF中，平面 BCFEL平面 ABC, AC=3.(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.17.(2018全国出)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明：平面AMD，平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC/平面PBD?说明理由

5、.立体几何中的翻折问题,一_，,一兀一118如图(1),在直角梯形ABCD中，AD/BC,/BAD=_2,AB=BC=AD=a,E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图(2)中ABE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD，平面AiOC;(2)当平面AiBE，平面BCDE时，四棱锥Ai-BCDE的体积为36/2,求a的值.119.如图1,在直角梯形ABCD中，/ADC=90,AB/CD,AD=CD=-AB=2,E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BCL平面ACD;(2)点F在CD上，且满足AD/平面BEF,求几何体F-BCE的体积.20.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8.点E,F分别在A1B1,D1C1上，过点E、F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.求证：A1E=DF;(2)判断A1D与平面a的关系.2020届高三数学立体几何专题(文科)1解析：(I)设AC的中点为O,连接EO.在三角形PBD中，中位线E

6、O/PB,且EO在平面AEC上，所以PB平面AEC.(n)A%1，AD73,Vp-abd、，113Vp-abd=PAABAD=AB=326乌4叵,4AB作AH，PB角PB于H,由题意可知BC,平面FAB,BCXAH,又AH.必3,故A点到平面PB13故AH,平面PBC.PBC的距离网3.132.(1)证明：如图所示，取PA的中点H,连接EH,DH,1因为E为PB的中点，所以EH/AB,EH=2AB,1又AB/CD,CD=2AB,所以EH/CD,EH=CD,因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE/DH,又DH?平面PAD,CE?平面PAD,所以CE/平面PAD.1(2)如图所不，取AB的中点F,连接CF,EF,所以AF=2AB,1又CD=2AB,所以AF=CD,又AF/CD,所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF/AD,又CF?平面PAD,所以CF/平面PAD,由(1)可知CE/平面PAD,又CEACF=C,故平面CEF/平面PAD,故存在AB的中点F满足要求.3.(1)证明PEPF，一.(0),EF/BC.BC/AD,EF/AD.PBPC又EF?平面PAD,AD?平面PAD,，EF

7、/平面FAD.1(2)解二入=2,，F是PC的中点,在RtPAC中，PA=2,AC=a/2,.PC=qPA2+AC2=乖.PF=1pC=.,平面PAC,平面ABCD,且平面PACA平面ABCD=AC,PAXAC,PA?平面PAC,.PAL平面ABCD,.PALBC.又ABLAD,BC/AD,.1.BCXAB,又PAAAB=A,PA,AB?平面PAB,.BC,平面PAB,BCXPB,，在RtPBC中，BF=2pC=.6连接BD,DF,设点D到平面AFB的距离为d,在等腰二角形BAF中，BF=AF=6,AB=1,.4ABF=平，又Saabd=1,点F到平面ABD的距离为1,，由Vfabd=Vdafb,得“谓坐解得d=害即点D到平面AFB的距离为华.4 .证明(1)由题设知BBi/DDi且BBi=DDi,所以四边形BBiDiD是平行四边形，所以BD/BiDi.又BD?平面CDiBi,BiDi?平面CDiBi,所以BD/平面CDiBi.因为AiDi/BiCi/BC且AiDi=BiCi=BC所以四边形AiBCDi是平行四边形，所以AiB/DiC.又AiB?平面CDiBi,DiC?平面CDiBi,

8、所以AiB/平面CDiBi.又因为BDAAiB=B,BD,AiB?平面AiBD,所以平面AiBD/平面CDiBi.(2)由(i)知平面AiBD/平面CDiBi,又平面ABCDA平面BiDiC=直线l,平面ABCDA平面AiBD=直线BD,所以直线l/直线BD,在四柱ABCDAiBiCiDi中，四边形BDDiBi为平行四边形,所以BiDi/BD,所以BiDi/l.5 .连接AC交BD于点O,连接MO,因为PM=MC,AO=OC,所以PA/MO,因为PA?平面MBD,MO?平面MBD,所以PA/平面MBD.因为平面PAHGA平面MBD=GH,所以AP/GH.6 .证明(i)在四棱锥P-ABCD中，因为PAL底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PAXCD,因为ACXCD,且FAAAC=A,所以CD,平面PAC,而AE?平面PAC,所以CDXAE.(2)由PA=AB=BC,ZABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AEXPC.由(i)知AECD,且PCACD=C,所以AE,平面PCD.而PD?平面PCD,所以AEXPD.因为PAL底面ABCD,所以PAXAB.又因为ABAD且PAAAD=A,所以AB,平面PAD,而PD?平面PAD,所以ABXPD.又因为ABAAE=A,所以PD,平面ABE.7 .(i)证明因为ABCD为正方形，所以AD/BC.因为AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD/平面PBC.因为AD?平面AEFD,平面AEFDn平面PBC=EF,所以AD/EF.(2)证明因为四边形ABCD是正方形，所以ADAB.因为平面PAB，平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,AD?平面ABCD,所以ADL平面PAB.因为PB?平面PAB,所以ADPB.因为4PAB为等边三角形，E是PB中点，所以PBXAE.因为AE?平面AEFD,AD?平面AEFD,AEnAD=A,所以PB,平面AEFD.(3)解由(1)知,V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC=9C-AEFD=|v1,：Vbc-aefd=：Vi,贝UVp-abcd=Vi+：Vi=3vi,:?1=8.8 .解

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