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高中数学2.2.3向量的数乘导学案苏教版必修4

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常见问题

1、高中数学2.2.3向量的数乘导学案苏教版必修42.2.3向量的数乘学习目标重点难点1能记住数乘向量的运算及其几何意义2能说出两个向量共线的含义，学会共线定理3能记住向量线性运算的性质及其几何意义.重点：数乘向量的运算及其几何意义难点：两向量共线的含义及共线定理易错点：两向量共线的含义.1向量数乘的定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|；(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当a0时，a0；当0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘预习交流1你能说一下向量3a的几何意义吗？提示：向量3a的几何意义：表示向量a的有向线段在其相反方向上伸长为原来的3倍2向量数乘的运算律(1)( a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的线性运算预习交流2运用向量的运算律应注意哪些问题？提示：(1)运算律的记法：向量数乘的运算律可以类比实数乘法或整式乘法的结合律与分配律学习(2)运算的误区：结合律要注意，均为实数，不可以是向量(3)运算律的应用：对以上恒等式不仅能正用，还要能逆用，从而灵活

2、进行向量的线性运算3向量共线定理如果有一个实数，使ba，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba.预习交流3(1)若e1e2，3e1e2，e15e2，则当A，B，C三点共线时，实数_.(2)判断下列各题中的向量是否共线：a4e1e2，be1e2，且e1，e2不共线；ae1e2，b2e12e2，且e1，e2共线提示：(1)7(2)由a4b，且e1，e2不共线，可知a与b共线当e1，e2中至少有一个为零向量时，显然b与a共线当e1，e2均不为零向量时，设e1e2，a(1)e2，b(22)e2.当1时，a0，显然b与a共线当1时，ba，b与a共线一、向量数乘的基本运算计算：(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2)；(3)(mn)(ab)(mn)(ab)思路分析：解答本题应先去括号再化简解：(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c6a4b.(2)原式(a4b)(4a2b)(3a6b)2ba.(3)原式(mn)a(mn)b(mn)a(mn)b2(mn)b.1下列命题中，正确的个数为_(5)6

3、a30a；7(ab)6a7ab；(a5b)(a5b)2a；(ab)(ab)2b.答案：3解析：正确7(ab)6aa7b，不正确2设x，y是未知向量，解方程组解：将第一个方程的2倍与第二个方程相加，得y2ab，yab.代入原来的第二个方程，得xb，移项并化简，得xab.综上，xab，yab.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指的是向量，实数看作是向量的系数二、向量共线问题设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线思路分析：非零向量a与b满足的条件“不共线”(1)要证明A，B，D三点共线，只要建立与的等量关系便可；(2)引入参数，使其满足kab(akb)，并由向量a与b不共线求解该方程解：(1)2a8b3(ab)5a5b5，共线又，有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab和akb共线，则存在实数，使得kab(akb)，即(k)a(1k)b0.非零向量a与b不共线，k0且1k0.k11若5e，7e，且|，则四边形ABCD的形状是_答案：等腰

4、梯形解析：5e，7e，.与平行且方向相反易知|.又|，四边形ABCD是等腰梯形2下面向量a，b共线的序号是_a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a6e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2(e1，e2不共线)答案：解析：对于，a；对于，a6b，此时a，b共线向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满足某线性关系即可这一切都建立在向量共线定理的基础之上因此向量共线定理是解此类问题的根本三、向量的线性表示如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.思路分析：由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量，均可以由向量表示，而向量可由向量，表示，从而问题可解解：3a，2b，2b3a.又D，E为边AB的两个三等分点，ba.3aba2ab，3a3a(2b3a)ab.1点C在线段AB上，且，则_.答案：解析：如图，.2在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点

5、，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则用a，b表示_.答案：ab解析：如图，由题意知，DEBE13DFAB，.abab.用已知向量表示未知向量的求解思路(1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)依据向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量1点C是线段AB的中点，则有，那么_.答案：2解析：利用向量数乘的几何意义，数形结合可得2在ABC中，D是BC的中点，向量a，向量b，则向量_(用向量a，b表示)答案：(ab)解析：延长AD到E，使ADDE，则四边形ABEC是平行四边形，则(ab)3若3m2na，m3nb，其中a，b是已知向量，则m_，n_.答案：abab解析：此题可把已知条件看做向量m，n的方程，通过解方程组获得m，n.记3m2na，m3nb，3得3m9n3b，得11na3b.nab.将代入，得mb3nab.4如图所示，D是ABC的边AB的中点，向量可用，表示为_答案：解析：由向量加法的三角形法则可知，又A，B，D三点共线，且D是AB的中点，可知，.5已知a5b，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线证明：2a8b3(ab)a5b，与共线又与有公共点B，A，B，D三点共线6

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