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微积分1方法总结

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常见问题

1、微积分1方法总结第一章函数、极限、连续注 ”表示方法常用重要一、求函数极限的方法 1极限的四则运算； 2等价量替换； 3变量代换； 4洛比达法则； 5.重要极限； 6初等函数的连续性；7导数的定义；8.利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理； 12.无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等 .b5E2RGbCAP二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。三、无穷小量阶的比较的方法利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开四、函数的连续与间断点的讨论的方法如果f(X)是初等函数，若f(X)在斗X0处没有定义，但在 X0 一侧或两侧有定义，则X如)是间断点，再根据在 t疝)处左右极限来确定是第几类间断点。如果f(x)是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。五、求数列极限的方法 1极限的四则运算； 2.夹逼定理； 3.单调有界定理；4. l

2、imlh)逋)limRn)述);5.数列的重要极限；6用定积分的定义X11求数列极限；7.利用若9等价量替换等a11 1n收敛，则liimn 0 ； 8.无穷小量乘以有界量仍是无穷小量；n【评注】1.数列的项有多项相加或相乘式或11时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算，p1EanqFDPw2如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限用单调有界定理3对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则.DXDiTa9E3d4由数列肝|中的通项是n的表达式，即测一而limf（n）与limf（x）是特殊与11X般的关系，由归结原则知5. 有 liimi11 1illilllim或 IT）（恥加 On nimni li On第二章一元函数微分学一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法：利用导数定义，经常用第三种形式二、研究导函数的连续性的方法：1.求出仏,对于分段函数的分界点要用左右导数定义或导数定义求.2.讨论f（x）的连续性，三、求初等函数的导数的方法：在求导之前尽可能的化简，把函数的

3、乘除尽量化成加减，利用对数微分法转化为方程确定隐函数的求导等等，从而简化求导过程.要熟练记住基本初等函数的导数公式、导数的四则运算，理解并掌握复合函数的求导法则.RTCrpUDGiT四、求分段函数的导数的方法：求分段函数导数不在分界点可直接利用求导公式。在分界点（1）若在分界点两侧的表达式不同，求分界点的导数有下述两种方法：（i ）利用左右导数的定义。（ii）禾U用两侧导函数的极限。（2）若在分界点两侧的表达式相同，求分界点的导数有下述两种方法：（i）利用导数定义。（ii）利用导函数的极限。5PCzVD7HxA五、求参数式函数的导数的方法X t : :世也I I . 1存在且 10,则dtdxdx tdt若d2ydy （02dxdxdx（Odi六、求方程确定隐函数的导数的方法：解题策略求方程垃.y g 边确定的隐函数y y X的导数时，由y是x的函数，此时方程两边是关于x表达式的恒等式，两边同时对x求导，会出现含有 y的等式，然后把y看成未知数解出即可。jLBHrnAlLg七、求变上下限函数的导数的方法：解题策略利用变上下限函数求导定理，注意化成变上下限函数的成标准形式八、求函数

4、的高阶导数的方法：求导之前，对函数进行化简，尽量化成加减，再用高阶导数的运算法则九、方程根的存在性把要证明的方程转化为f(x)=O的形式。对方程f(x)=O用下述方法： 1 .根的存在定理若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且lg 1(b) 0,则至少存在一点址 h ，使 I )0.XHAQX74JOX 2.若函数f(x)的原函数F(x)在a,b上满足罗尔定理的条件，则f(x)在(a,b)内至少有一个零值点丄DAYtRyKfE3用泰勒公式证明方程根的存在性.4 实常系数的一元n次方程淋 alxn11 1 汕 lx an OiaO 0),当 n 为奇数时，至少有一个实根。证设Kx) aOxn alMi 1 an lx ailal由M) 不妨设a00。由于f(x)10。limX111 an In 1 ann)xxxIT*.取丽L N()当xN0时，都有取 bN0，有 f(b)0 , x 0) o)证令 x atant,原式asec2tdatent dt 222asectatant aisec2tI ( ,) secldl Insect laiil c.22sectxa 图 3-1x由仙1，

5、作出直角三角形，可知SCC-taa2您，于是a原式11xc Inx clna aln(x cl12.1x2 a2dx lux x2 泉 c一、求不定积分的方法：不定积分的线性运算法则、凑数分法、变量代换法、分部积分法，还有有理式的不定积分、三角函数有理式的不定积分、无理式的不定积分理论上的方法也要知道.二、涉及到定积分的方程根的存在性的方法：利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。OYujCfmUCw三、涉及到定积分的适合某种条件的等式的方法：利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。eUts8ZQVRd四、涉及到定积分的不等式的方法：利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。sQsAEJkW5T五、涉及到定积分的等式证明的方法：用变量代换较多或定积分的条性质、周期函数积分的性质六、定积分计算的方法：利用牛一莱公式、定积分的线性运算法则、凑微分、变量代换、分部积分计算及定积分的其他公式微元法要搞懂七、定积分的几何应用1求平面图形的面积（略）2ry x（连续），Ox轴及直线x=a, x=b所围成的曲边梯形绕 Ox轴旋转而成的旋转体的体积Vx为 Vx GMslasNXkAbaf2X （RI X（连续）O

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