行列式的计算技巧与方法总结
25页1、 行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性例1 计算行列式.解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有项,但由于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少具体的说,展开式中的项的一般形式是显然,如果,那么,从而这个项就等于零因此只须考虑的项,同理只须考虑的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有,而,所以此项取正号故=.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式与其值分别如下:,.例2 计算行列式.解析:观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应一样,故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即:化为上三角形解:将该行列式第一行的倍分别加到第2,3()行上去,可得.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计算这类计算行列式的方法称为连加法例3 计算行列式.解:.2.2.3 滚动消去法当
2、行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法例4 计算行列式.解:从最后一行开始每行减去上一行,有.2.2.4 逐行相加减对于有些行列式,虽然前行的和全一样,但却为零用连加法明显不行,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法例5 计算行列式.解:将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此类推,得:.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解2.3.1 按某一行(或列)展开例6 解行列式.解:按最后一行展开,得.2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下:设在行列式D中任意选定了个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即,其中是子式对应的代数余子式即,.例7 解行列式.解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得.2.4 升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法的最大特点就是要找每行或每列一样的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果其
3、中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以与一般行列的位置例8 解行列式D=.解:使行列式D变成阶行列式,即.再将第一行的倍加到其他各行,得:D=.从第二列开始,每列乘以加到第一列,得:.2.5数学归纳法有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法去证明对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法例9 计算行列式.解:用数学归纳法证明.当时,.当 时,.猜想,.由上可知,当,时,结论成立假设当时,结论成立即:.现证当时,结论也成立当时,.将按最后一行展开,得.因为,所以.这就证明了当时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立即:.2.6 递推法技巧分析:若阶行列式满足关系式.则作特征方程. 若,则特征方程有两个不等根,则 若,则特征方程有重根,则在中, A,B均为待定系数,可令求出例10 计算行列式.解:按第一列展开,得.即作特征方程.解得.则.当时,;当时,.解得,所以.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行(列)法3.1.1 概念与计算方法拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式
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