2022年高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形1.3.1圆内接四边形学案北师大版选修

1、2022年高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形1.3.1圆内接四边形学案北师大版选修课标解读1.了解圆内接四边形的概念2掌握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论.图1311圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补如图131，四边形ABCD内接于O，则有：AC180，BD180.(2)推论图132圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角如图132，CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：CBED.2圆内接四边形的判定定理及推论(1)判定定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆如图133，若AC180，BD180，则四边形ABCD内接于O.(2)推论：如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆如图133，若CBED，则四边形ABCD内接于O.图1331判定四点共圆的方法有哪些？【提示】(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果两个直角

2、三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)图1342如图134，在四边形ABCD中，若ADBACB，那么A，B，C，D共圆吗？为什么？【提示】A，B，C，D共圆假设A，B，C，D不共圆，其中C点在圆外C1处设AC1交O于E点，连接BE，A、B、E、D四点共圆，ADBAEB.又知AEB是BEC的一个外角，AEBACB，ADBACB，这与ADBACB矛盾假设不成立同理若C1(C)点在O内，则有：ACBADB，与ADBACB矛盾因此A、B、C、D共圆.圆内接四边形的性质图135如图135，在RtABC中，ACB90，在AB上截取PAAC，以PC为直径的圆分别交AB、BC、AC于D、E、F.求证：.【思路探究】先利用PC是圆的直径，得到PFBC，再利用圆内接四边形的性质，得到DFPC，最后利用平行线分线段成比例证明结论【自主解答】连接DF、PF.PC是直径，PFAC.BCAC，PFBC，.四边形PCFD内接于O，ADFACP，APAC，APCACP.ADFAPC.DFPC，.1在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比

3、例式相等2圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系已知四边形ABCD内接于圆，DEAC，交BC的延长线于E，求证：ABCEADCD.【证明】如图，连接BD，DEAC，EACB.ACBADB，ADBE.在ABD与CDE中，ADBE，BADDCE，ABDCDE.故ABCEADCD.圆内接四边形的判定图136如图136，在ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且APBC于P.求证：E、D、P、F四点共圆【思路探究】证明本题可先连接PF，构造四边形EDPF的外角FPC，证明FPCC，再证明FPCFED即可得出结论【自主解答】连接PF，APBC，F为AC的中点，PFAC.FCAC，PFFC，FPCC.E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，EFCD，EDFC，四边形EDCF为平行四边形，FEDC，FPCFED，E，D，P，F四点共圆1本题证明的关键是如何使用点E、D、F是中点这一条件2要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明图137如图137，D，E分别为ABC的边A

4、B，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根，(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径【证明】(1)如图，连接DE，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212，故AD2，AB12.如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.圆内接四边形性质与判定的综合运用图138如图138，已知ABC中，ABAC，D是ABC外接圆劣弧上的点(不与点A ，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分CDE；(2)若BAC30，ABC中BC边上的高为2.求ABC外接圆的面积【思路探究】(

5、1)利用圆内接四边形的外角等于内对角求解；(2)ABC外接圆的圆心在BC边的高上，通过作辅助线求解【自主解答】(1)如图，A，B，C，D四点共圆，CDFABC.又ABAC，ABCACB，且ADBACB，ADBCDF.又由对顶角相等得EDFADB，故EDFCDF，即AD的延长线DF平分CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AHBC，连接OC，由题意OACOCA15，ACB75，OCH60，设圆半径为r，则rr2，得r2，外接圆的面积为4.1在解答本题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强2此类问题考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立图139(xx周口调研)如图139，在ABC中，CD是ACB的平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB2AC.(1)求证：BE2AD；(2)当AC1，EC2时，求AD的长【解】(1)证明：连接DE，ACED是圆的内接四边形，BDEBCA.又DBECBA，BDEBCA，即有，而AB2AC，BE2DE.又CD是ACB的平分线，ADDE，从而BE2AD.(2)由条件得AB2AC

6、2，设ADt，根据割线定理得BDBABEBC，即(ABAD)BA2AD(2ADCE)，(2t)22t(2t2)，即2t23t20，解得t或t2(舍去)，即AD.图1310(教材第24页练习第2题)已知：如图1310，在ABC和ABD中，CD.求证：A，B，C，D四点共圆(xx课标全国卷)如图1311，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆图1311(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值【命题意图】本题考查了几何证明的相关知识，考查了推理论证的能力及运算求解的能力【解】(1)证明因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA.由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90，所以CBA90.因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DBBE，有CEDC.又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC2

7、6DB2.而CE2DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.1如图1312，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCDECD32，那么BOD等于()图1312A120B136C144 D150【解析】BCDECD32，ECD72，BOD2A2ECD144.【答案】C2下列说法正确的个数有()平行四边形内接于圆；梯形内接于圆；菱形内接于圆；矩形内接于圆；正方形内接于圆A1个 B2个C3个 D4个【解析】根据圆内接四边形的判定定理知，正确【答案】B图13133如图1313所示，四边形ABCD内接于O，若BOD110，那么BCD的度数为_【解析】ABOD11055，BCD18055125.【答案】125图13144如图1314，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若C115，则D_.【解析】如图，连接AB，C115，ABE65，DABE65.【答案】65一、选择题1在圆内接四边形ABCD中，ABCDmnpq，则有()AmpnqBmnpqCmpnq D不能确定【解析】根据圆内接四边形的对角互补知C正确【答案】C图13152如图1315，AB为O的直径，P为O外一点，PA交O于D，PB交O于C，连接BD、AC交于E，下列关系中不成立的是()AADBACB90BAEDPCPAEBDPACDBP【解析】AB为O的直径，BDAP，ACBP，ADBACB90，EDPECP90，E、D、P、C四点共圆，AEDP，A，B，C，D四点共圆，PACDBP，而PAEB无法确定【答案】C图13163如图1316，在O中，弦AB的长等于半径，DAE80，则ACD的度数为()

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