正项级数相关知识点总结
3页正项级数相关知识点总结1110810115 马舜1. 给定一个数列un,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式u1+u2+.un+称为数项级数。其中un为通项。记作n。若级数n的各项都是非负的实数,则称其为正项级数。2. 正项级数收敛性的判别方法。 (1) 正项级数n收敛的充要条件是:部分和数列sn有界,即存在某正数M,对一切自然数n有SnN都有unvn,那么 1) 若级数n收敛,则级数n也收敛; 2)若级数n发散,则级数n也发散。 (3) 比较判别法的极限形式 设n和n是两个正项级数,若(un/vn)=p则 1)当0p+时,n与n同时收敛或同时发散; 2)当p=0时且级数n收敛时,n也收敛; 3)当p=+时且n发散时,n也发散。 (4) 比值判别法 设n是正项级数,且存在某个自然数N0及常数q(0qN0,不等式(un+1/un)成立,则级数n收敛; 2)若对一切n N0,不等式(un+1/un)成立,则级数n发散。 (5)比值判别法的极限形式 若n是正项级数,若(un+1/un)=q,则 1)当q1或q=+时,级数n发散。 (6)根值判别法 设n是正项级数,且存在某个正数N0及正常数q 1)若对一切n N0,不等式nqN0,不等式n1成立,则级数n发散。 (7)根值判别法的极限形式 设n是正项级数,且n=q, 1)当q1时,级数n发散。 (8)积分判别法 设为1, +上非负递减函数,那么正项级数与积分同时收敛或同时发散。(9)拉贝判别法 设n是正项级数,且存在某个自然数N0及常数q, 1)若对一切n N0,不等式成立,则级数n收敛; 2) 若对一切n N0,不等式成立,则级数n发散。(10)拉贝判别法的极限形式 设n是正项级数,且极限存在,则 1)当q1时,级数n收敛; 3)当q=1时,拉贝判别法无法判断。例题 证明. 证明:因为 (x1),且单调减, 所以。 (1) 反复利用分部积分法, 又 所以 (01) (2) 将(2)式代入(1)得. (判别法(9)(10)为查找资料学习的,如果有错误,希望老师指导。例题为我找的一道感觉较难的题,望老师多多指教。)
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