河南省洛阳市高三数学第一次统考试题 理含解析

1、洛阳市20172018学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以，故，故选C.2. 若（是虚数单位），则等于（ ）A. 3 B. 2 C. 0 D. -1【答案】A【解析】，因，故，所以，选A.3. 若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对，都有；（2）对，且，都有；以上四个函数中，“优美函数”的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】若，则为上的奇函数，但在上不单调，故不是优美函数；若，则为上的奇函数，且在上为减函数，所以，它是优美函数；若，因，故它不是上的奇函数，故它不是优美函数；若，考虑函数在上的单调性，因在为增函数，在为增函数，所以在上为增函数且恒正，故在上为增函数，所以当时，总有，所以也不是优美函数，综上，选B.4. 已知向量，若，则实数的值是（ ）A. -4 B. -1 C. 1 D. 4【答案】D【解析】因为，故，展开得到，故，

2、选D.5. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和【答案】C【解析】 由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（ ）A. 7 B. 8 C. 13 D. 14【答案】D【解析】可行域如图所示，当动直线过时，；当动直线过时，故的最大值与最小值的和为14，选D.7. 已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐

3、标缩短到原来的后所得函数的解析式为， 图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8. 一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】几何体如图所示，它为正方体中挖去两个对顶的圆锥，其体积为. 9. 若，则二项式的展开式中的常数项为（ ）A. -15 B. 15 C. -240 D. 240【答案】D【解析】，而展开式的通项公式为令，所以，常数项的系数为，选D.10. 在中，角的对边分别为，若成等比数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，故，而 ，因 ，故.根据正弦定理有，故，选B.11. 已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，直线与曲线从上到下依次相交于点，则（ ）A. 16 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】由 可以得到，解得，所以，故，选A.点睛：对于抛物线 ，若且 为焦点弦或焦半径，那么，其中为焦点.12. 已

4、知函数满足，且当时，则方程在上的所有根之和为（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】D【解析】由可得总成立，所以是偶函数，由可以得到是周期为的函数.在同一坐标系中，我们画出及的图像，故方程共有11个根，其中在内有6个解，其和为零，在内有5个解，得和为11.选D.点睛：对于不可解方程的解的个数，通常转化为两个熟悉函数的图像的交点去考虑.题设中关于的关系式蕴含为偶函数且为周期函数，而且图像的对称轴为，又的对称轴为，故根据两个函数的图像得到11个解，它们的和为8+3=11. 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则_【答案】【解析】由题设有 ，所以，所以14. 某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有_种（用数字作答）【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有15. 在半径为4的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得图形的面积为_【答案】【解析】设球心为，则，所以在平面上射影是的外心，同

5、理在平面上射影也是的外心因且，故在平面的异侧，如图所示，等边三角形中，故，又为平面截所球得圆的半径，故圆的面积为点睛：题设中，结合球的半径为，故我们可以确定出在平面的两侧，从而求出的外接圆的半径16. 已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形则双曲线的离心率为_【答案】【解析】连接并延长交右支于点，设，则，因为双曲线是中心对称，且，所以四边形是平行四边形因是等腰三角形，所以，故，且，根据双曲线的定义，有，所以，解得，所以，所以，点睛：圆锥曲线的离心率的计算，常常需要寻找一个关于的关系式如果题设条件与焦点或准线有关，那么我们需要从几何性质的角度去构建的关系式三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：由，可以得到的大小和的递推关系为，因此为等比数列，从而求得，再根据求出的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法

6、求它的前项和.（1）当时，.，当时，两式相减得，因， ，故，数列是首项为4，公比为4的等比数列，.（2） ，两式相减得：.所以.18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105 乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由【答案】（1）.（2）见解析【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即

7、可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可（1）记抽取的天送餐单数都不小于40为事件，则.（2）设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，当时，当时，当时，当时，.所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为： 228234240247254 所以依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为元.由得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘.19. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，且平面平面（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面因平面，只要证平面，也就是证明和，后者可以由为等边三角形得到，前者由平面得到（因为平面平面）.（2）要求锐二面角，因几何体比较规则，可以建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.（1）由题，为的中点，可得，平面平面，平面 平面，平面， 平面.又平面，.，平面.平面平面.（2）取的中点， 的中点，连接，.平面平面 平面，平面.分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面

8、的法向量为，则.即.可取.同理，可得平面的法向量.所以平面与平面所成锐二面角余弦值为.20. 已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程【答案】（1）.（2）或.【解析】试题分析：直线的方程有参数，利用原点到其距离为可以得到的大小，从而得到椭圆的方程（2）中的三点满足向量关系式，将各点坐标代入，可以得到三个点的坐标之间的关系，而在椭圆上，所以两点的坐标满足关系式，再利用两点在直线上，得到关于的一个关系式，利用韦达定理转化为的方程可以解出的值（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为：，由.解得，故椭圆的方程为.（2）设 当直线的斜率为0时，显示不符合题意.当直线的斜率不为0时，设其方程为，由，得，所以.因为，所以.又点在椭圆上， .又，将，及代入得，即或.故直线的方程为或.点睛：一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有（或）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.21. 已知函数，（），且曲线在点处的切线方程为（1）求实数的值及函数的最大值；（2）当时，记函数的最小值为，求的取值范围【答案】（1），最大值（2）【解析】试题分析：（1）题设给出了在处的切线，也是，从中解出即可（2）中要求的最小值，因此要考虑的单调性，也就是考虑的符号的变化，但的零点不易求得，所以利用（1）的结论先确定在给定的范围上有唯一的零点，通过零点满足的关系式化简在零点处的函数值表达式（也是的最小值），最终求出最小值得范围（1）函数的定义域为，因的图象在点处的切线方程为，所以也即是，解得，所以，故令，得，当时，单调递增；当时，单调递减所以当时，取得最大值（2），令，由（1）知道在是增函数

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