行列式的定义和性质及若干应用论文
22页1、行列式及其在初等数学中的应用 【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组 引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。 1 行列式的定义和性质1.1行列式的定义 行列式与矩阵不同,行列式是一个值,它是所有不同行不同列的数的积的和,那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关,逆序数为偶数,符号为正,逆序数为奇数,符号为负。例1 .解:不为零的项一般表示为,故1.2行列式的性质 行列式有如下基本性
2、质:1、行列式的行列互换,行列式不变;2、互换行列式中的两行或者两列,行列式反号;3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数;4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数,加到另外一行或者列上,行列式不变;5、行列式的某两行或者某两列成比例,行列式为零; 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时,行列式可拆另两个行列式的和。例2 一个阶行列式 的元素满足则称反对称行列式,证明:奇阶数行列式为零.证明: 由知,即.故行列式可表示为,由行列式的性质,.2行列式的若干应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用 设含有个变元的个一次线性方程组为 (1) 设方程组(1)的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列. 我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得 (2)式中是行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故.代入(2)式, 得, 或.结论2: 方程组(1)中的与
3、成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例3.1.1 分解因式:. 解: . 例3.1.2 分解因式: . 解: 原式 .3.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行(列)的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行(列)的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1 已知, 求证.证明: 令, 则.命题得证.例3.2.2 已知 求证.证明: 令, 则命题得证.例3.2.3 已知, 求证.证明: 令, 则 而, 则, 命题得证.4 行列式在解析几何中的几个应用4.1 用行列式表示公式4.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点为顶点的的面积S是 (3)的绝对值.证明: 将平面三点扩充到三维空间, 其坐标分别为, 其中为任意常数. 由此可得: , 则面积为 = .4.1.2 用
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