基本图形-一线三等角
5页1、基本图形:一线三等角,相似两边找“一线三等角”这个基本图形性质虽然不同,就是可以得到一组相似三角形而已,但因为这组相似三角形的对应关系较难看出,因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形,就有其价值了。例1:在等腰ABC中,AB=AC,D是BC上的一点,作ADE=B,问:ABD与DCE相似吗?如果相似,请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。讲评:从这个例子,我们可以提炼出如下基本图形:“三个相等的顶点在一直线上,就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形,简称“一线三等角”。如图,当A=B=EDC时,就有ADECDB;其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用,因此在书写证明时,还得用外角知识重新证明。数学上特别注意的是,这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”,要把其中一个三角形转过一个角度后,才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”:从图中的点E出发,沿逆时针沿外周绕,得比例EA:AD=DB:BC.例2:在等边ABC中,将角A翻折,使点A落在BC边的D点上,EF为折痕,求证:BEDCDF.并写出对应线段比例式。例3.在矩形AB
2、CD中,AD=4,CD=5,点F在AD上,将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的点E处,求的值。例4:如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,MEN=B. MEN的顶点E在边BC上移动,一条边始终经过点A,另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=,DF=,试建立关于的函数关系式,并写出函数定义域。例5:如图,在RtABC中,C=90,BC=6,AC=8,O是AB上一点,AO=4,P是AC上动点,过点P做OP的垂线交边BC于点Q,设AP=,CQ=,试求关于的函数解析式,并写出定义域。例6:如图, 若B=EDC=A,且点D是BC的中点,请问:图中是否产生新的相似三角形?请证明:并写出哪些角相等,哪些线段比相等。讲评:本题反映的是一个基本图形“一线三等角+中点”。上图中,若B=EDC=A,且D是BC中点,那么有三个三角形相似:EADDECDBC.同样地,其同样地,其对应关系值得重视。不过,这个对应关系比较“顺”,只要假想把AB的中点D沿AB“滑”向A点(或B点),夹A(或B)两边与夹EDC的两边对应关系呈现左对左、右对右的格局。例7:如图,在梯形ABCD中,A
3、DBC,AB=CD=BC=6,AD=3.M为边BC的中点,以M为顶点作EMF=B,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1)求证:MEFBEM;(2)若BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长;(3)若EFCD,求BE的长。1.基本图形“一线三等角”:三个相等的角的顶点在一条直线上,就有两个三个三角形相似。2.基本图形“一线三等角+中点”。三个相等的角的顶点A、D、B在一条直线上,位于中间的那个顶点D,如果线段AB的中点,那么就有三个三角形相似。3.一线三等角这个基本图形常出现在等腰三角形底边,等腰梯形的底边,矩形的一边等场合。4.有时可以利用一线三等角这个基本图形添辅助线。练习:1.如图,在梯形ABCD中,ABCD,CD=8,BC=6,ABD=C,P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:BPE=C,交BD于点E,求证:BCPPDE;2.如图,在正方形ABCD中,AB=5,E是直线BC上的一点,连接AE,过点E作EFAE,交直线CD于点F,当E点在BC边上运动时,设线段BE的长为,线段CF的长为,求关于的函数解析式及其定义域。3.在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且AD=5,AB=CD=2.(1)如图,P为AD上一点,满足.求证:ABPDPC;求AP的长。(2)如果点P在AD边上移动(点P不与点A、D重合),且满足,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时,设,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;当CE=1时,写出AP的长(不必写出解答过程)4.如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=4,BC=6,,点E、F分别在BC、AC上(点E与B、C不重合),设BC=,AF=.(1)求证:ABEECF;(2)求与之间的函数关系式,并求自变量的取值范围;(3)当点E在BC上移动时,AEF是否有可能是一个直角三角形?若有可能,请求出BE的长,若不能,请说明理由。
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