案例分析与教师发展-解题

1、先复习上午的内容：1三个期望实现了吗？（1）体会三个名词：案例，案例教学与案例研究；数学教学上的案例（课例）：是具有典型意义的教学过程的描述创作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文的体裁表示出来案例教学：是一种通过典型教学过程（课例）的分析来学习教育理论与教学技能的教学方法 案例研究：在对典型教育事件进行具体描述的基础上，通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究方法，叫做案例研究（2）参与一个行动：案例分析 （3）带走一个信念：我要进行案例研究，我能进行案例研究案例分析与教师发展（解题案例）陕西师范大学数学系 罗增儒 710062029-85308872 13609297766E-mail：zrluo snnueducn主题：怎样解题？怎样学会解题？是数学学习中的两个核心问题，是数学教师的专业制高点我们要要科学把握怎样解题的基本过程；（四步骤）要懂得通过解题分析去学会解题（四步骤）（上午重在教学案例，下午重在解题案例）先做两个练习（1）你认为：什么叫解题？你是怎样学会解题的？（2）某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一

2、辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟（发车间隔问题）1 怎样解题的基本过程1-1 什么叫数学解题？1-1-1 数学题数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾，称为数学题对数学家而言，重在第二句话：“需要研究或解决的矛盾”在数学教学中，重在第一句话：“要求回答或解释的事情”内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等（特别提醒：构建概念、论证定理也是解题！）数学题的标准形式包括两个最基本的要素：条件，结论“未知的结论”一方面像空着的位置，需要加以填充，另一方面又由“已知的条件”客观决定着，构成“已隐蔽地确定”与“未明显地给出”的统一这就是教学中的数学题1-1-2 数学解题解题就是求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，这个“解”的重要特征是“沟通条件与结论之间的联系”，自动包括“沟通联系”中每一步的数学依据，所以解题有四个要素：条件、结论、解和解题依据“寻找条件与结论之间的联系”永远是数学解题的思考中心，这是一个“将已有知识用于新情境”的探索过程

3、、发现过程通常是从模仿开始、经过练习、学会发现一个人拿到题目之后，通过翻看习题集得到了答案（当然这个答案是正确的），从形式上看他的问题解决了，但这是一个缺少过程、缺少探索、缺少发现的“结果”，应是一个不成功的“解题”我们认为，解题应像攀登珠穆朗玛峰、徒步从一个营地跋涉到另一个营地，而不是旅游、坐着轿车从一个景点玩到另一个景点1-2 数学解题的基本过程我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程解题过程不仅仅是“书写解答”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理解题意、思路探求、书写解答、回顾反思科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯1-2-1 理解题意理解题意也叫做审题，（审题审什么？怎么审？）主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息具体说来，要做好3件事：（1）弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要尽可能把它们都找出来其次，也是更重要的，是看清楚条件所表达的到底是哪些数学知识（2）弄清

4、题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题，关键是要弄清结论到底与哪些数学知识有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题，这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学知识有关，以明确推理或演算的方向（3）弄清题目的条件和结论有哪些初步的数学联系，是一种什么样的结构即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题型结构为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思应该是循环往复、不断深化的过程题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示思考练习1：请思考下面各题中条件是什么、结论是什么思考题1 李师傅原来加工5300只零件，不合格的有186只，技术改革后，不合格率是2%，问加工同样的这批零件，合格的零件增加多少只（题目的结论求什么？你是怎么求的？参见案例1）思考题2 为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政策：3个空瓶可以换1瓶矿泉水

5、现有10瓶矿泉水，问根据“回收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？（你们可能见过（或教过）这样的解法，通过“借1还1”可兑换喝到5瓶矿泉水，于是，学到了“借1还1”但是，你们从数学上想过没有：条件“3个空瓶可以换1整瓶”的数学实质是什么？数学可不是魔术（参见案例2）思考题3 某车间两个小组加工同数量的同一种零件，第一小组5天完成，第二小组4天完成已知第二小组平均每天加工480个零件，问第二小组平均每天比第一小组多加工多少个零件（条件是什么？结论求什么？参见案例3）1-2-2 思路探求寻找解题思路是探索解题结论的发现过程，基本的想法是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题可以分两步走：（如图1）图1 （1）努力在已知与未知之间找出直接的联系化归为已经解决过的基本问题对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来（叫做模式识别）（2）如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改（运用解题策略：以退求进、区分种种情况、正难则反、以及自始至终的数形结合等） 以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问题的一部分，看清楚

6、、想明白了再进退是手段、进是目的，“难的不会想简单的”是个好主意在具体实践中，常常是进退互化（参见案例2）区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决在具体实践中，常常是分合并用（参见案例2）正难则反：正面思考有困难时，可以调整思考的方向，转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反证法）在具体实践中，常常是正反相辅数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数式，注意发挥数与形的双重优势（参见案例6） 思考练习2：请思考下面各题中的解题思路思考题4 某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟？（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？参见案例4）思考题5将个同学任意分两组，给两组之间的每两个同学都拉上一绳子(同一组内的同学不拉绳子)，继续这过程，只要某组的同学数大于1，就把这组同学再随意分成两组，并给两组之间的每两同学再拉一条绳子，

7、直至每组只有1个同学为止求过程结束时绳子的总数（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？参见案例5）思考题6 请猜一猜：，和会是多少？（数形结合，参见案例6）1-2-3 书写解答就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具体表达出来，说服自己、说服别人（包括同意或不同意你看法的人）书写建议（1）抓住15字口诀：定方法、找起点、分层次、选定理、用文字（2）把握24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范思考练习3：请思考下面各题中的解题思路思考题7 有一组数排列成方阵，如图2所示，试计算这组数的和 图2 （这个数表有一种对称性结构，可以有多种不同的书写，反映出来的思维层次是有区别的，写出你的解法参见案例7）1-2-4 回顾反思有两个层面的回顾反思，一个是解题层面的回顾反思，另一个学会解题层面的回顾反思 （1）解题层面的回顾反思：主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的有的检验是解题的必要步骤，检验之后，解题才算完成；有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住最后一关（2）学会解题层面的回顾反思

8、：表现为解题后对数学题目本身及解题方法的重新认识如，解题中用到了哪些知识？哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法?命题能够推广吗？如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息，它的长期积累会升华为数学才华这是更深层次的回顾反思，已经涉及学会解题了. 思考练习4：做完下面各题后，你作过回顾吗？思考题7（蚂蚁爬行）如图3，一圆柱体的底面周长为24cm，高为4cm，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程为 （你怎么做的？参见案例9） 图3 图4思考题8 张家和李家共同拥有一块如图4所示的平行四边形田地，田地的中间有一用于灌溉的圆形池塘，现两家想把这块田地平均分配，并且中间的池塘也要平均分配聪明的同学你能为他们想个法子吗？（写出你的推广，参见案例10） 2 怎样学会解题我们认为学解题的关键是学会解题分析，主要包括解题思路的探求和解题过程的反思解题思路的探求（1-2-2），把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到未知结

9、论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个认知过程）而解题过程的反思（1-2-4的学解题层面），则继续把解题活动(包括题目与初步解法)作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题（这是一个再认知过程）回顾我们从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师以来的30年），我们看到了一条清晰的学解题线路：由“简单模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，已经进入到“自觉分析”的阶段我们将其作为“一个中国解题者的学习案例”，或“一个中国学习者的解题案例”总结为学会学解题的四步骤程式：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析2-1 简单模仿（1）模仿：通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似行为的过程.（2）解题模仿：即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题这是对解题基本模式加以认识并开始积累的过程其本身会有体验性的初步理解学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈等艺术也都从模仿开始，每节数学课后的作业基本上都是模仿性练习（3）记忆：在这一阶段中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固

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