平面向量重难点解析

1、平面向量重难点解析课文目录2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本疋理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例目标：1理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用; 重难点：重点：向量的综合应用。难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。【要点精讲】1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向2. 向量的表示方法： 用有向线段表示-AB（几何表示法）；4+ 用字母a、b等表示（字母表示法）； 平面向量的坐标表示（坐标表示法）：、，一 、 扌扌 -分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量 a，由平-H 4面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a二Xi yj，（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x,y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，,=（1,0）， j =（0,1），0 = （0,0）。a =

2、 Jx2 + y2 ；若 AgyJ， B（X22），则AB = X2 - Xi, y2 - ， ab =、. gxi）2一（厂讨、产3. 零向量、单位向量：ta- 长度为0的向量叫零向量，记为 0;a 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）|a|4. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a b c.共线向量与平行向量 关系：平行向量就是共线向量.rrH 4七宀 0, b与a同向斗呻斗片 44|方向彳 耳 片性质：a/b (b =0)二 a b C 是唯一) ： 0, b与a反向长度-|a|=pb，彳彳呻斗a/b (b 北0)：= x1yx2y1 0 (其中 a =(%,%), b=(x2,y2)5. 相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量垂直向量两向量的夹角为2性质：a _ b ：= a b =0a b = NX? y$2 =0 (其中 a =化，), b= (x?, y?)6. 向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边

3、形法则：AC” = a b (起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形)T彳彳DB a - b么亠”加法首尾相连三角形法则减法 终点相连，方向指向被减数加法法则的推广:AB厂 ABi B1B2Bn.BnT T即n个向量ai, a2,an首尾相连成一个封闭图形，则有差向量的意义： OA=OB=b,贝U BA = a - b向量的减法向量 a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a -b = a + ( -b)；平面向量的坐标运算：若a =（为，） , b 十2也），则 a b=(xi X2, yiy2),a b =(Xi - x2, yi - y2),，a =( x,，y)。 向量加法的交换律：a + b=b + a ；向量加法的结合律：（a + b） +c=a + ( b + c)常用结论：（1 ）若 =-（AB AC）,2则D是AB的中点（2 ）或6是厶ABC的重心，则GA GB =07.向量的模:1、定义：向量的大小，记为7B|2、模的求法:若 a =(x, y)，则 | a|若 A(Xi,yJ, B(X2, y2),则 | AB |、(X2 xj2 (y2 yj23、性质:(1)

4、|a|2二b2 （实数与向量的转化关系）(2)a = b = | a |2 =| b |2，反之不然(3)三角不等式：|a|-|b|a_b|a|b|.4彳TIH1中弓彳即当a, b同向时，ab = |a|b|;即当a, b同反向时，a |a|b|平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,|芷|引；|：| （当且仅当a,b共线时取“=”(5)即 2| af 2| bf =|a b|2 |a -b|2&实数与向量的积： 实数入与向量a的积是一个向量，记作:(1) | 入 a|=| 入 | a| ；（2）入0时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反;入=0时入a = 0 ；（3 ）运算疋律入（1 a ）=（入口 ） a ,（入+卩）a =入a + 口 a ,入(a + b)=入a +入b交换律： az；分配律：(a b)c( a) b= ( a b)= a ( b);=a_(b_c)不满足结合律：即(a_b)L_c向量没有除法运算。如:都是错误的(4)已知两个非零向量a, b，它们的夹角为 二，则a|_b = |a |b |cosv坐标运算：a =(%, yj, b = (X2,y2)

5、，则 a|_b y2(5)向量=a在轴丨上的投影为：为a与n的夹角，n为i的方向向量)其投影的长为 A/ B/一 B|n|(2为n的单位向量)|n|(6) a与b的夹角v和a_b的关系:(1 )当v - 0时，a与b同向；当- :时，a与b反向iaLb、0a_b ： 0(2)二为锐角时，则有；二为钝角时，则有 a,b不共线a, b不共线9. 向量共线定理：向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数 入，使b =入a。a，有10. 平面向量基本定理：如果e , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量且只有一对实数 入1,入2使ad y+入2e2。(1)不共线向量、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一，关键是不共线;(3)由定理可将任一向量 a在给出基底 e、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟入1,入2是被a , , e2唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ,弓Ty)，则OA = ( x,y );当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去

6、起点坐标，即J T若 A (X1,y 1), B (X2,y 2),贝V AB =(x 2-x 1 ,y 2-y 1)11.向量a和b的数量积: a b =| a| | b |cos 二，其中 v 0 , n 为 a和 b 的夹角。| b |cos v称为b在a的方向上的投影。a b的几何意义是：b的长度|b |在a的方向上的投影的乘积，是个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量。若 a =(花，% ) , b =(X2, y2),则 a b 二 - % y?运算律：a b=b a,(入 a) b=a (入 b)=入(a b),(a+b)-c=a c+b c。 a和b的夹角公式： cos 0 = f ：2 =xn + * 匕a b . X12 - y,xf2y2 a *a =a2 鬥 a|2=x2+y2,或 | a|= x y2严 +X2 +X3 y1 +y2 +y3(3，312.两个向量平行的充要条件:符号语言：若T Ta / b ,f T Ta 半 0，贝U a = b坐标语言为:、TTT T设 a = (xi,y i), b =(x 2,y 2)，贝U a / b =(x i,

7、y 1)=入(x2,y 2),即*fx1 =x2y1 = Ay 2或 X1y2-x 2y1=0在这里，实数入是唯一存在的，当 a与b同向时，入T f0;当a与b异向时，入0,0T 弓弓贝y OC =入 OA + 1 OB-TT OA |=| OB |=1TT入=1 OE | , i =| OD | OEC中，/ E=6(f,/ OCE=75,-T由s蔦0|OC|sin 60CE0得:sin 45IOE|=CJsin 605(3、2.6)5、63 0|CE| = d輕 sin 600，5(3 2 6), 2、6636c；5(3 26)OA Ob63说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理D和向例 2、已知 ABC中，A (2, -1 ), B (3, 2) , C (-3 , -1 ) , BC边上的高为 AD,求点量AD坐标。解题思路分析:用解方程组思想设 D (x, y),则 AD = (x-2 , y+1) BC= (-6 , -3) , AD BC=0 -6(x-2)-3(y+1)=0 ，即 2x+y-3=0T BD =(x-3 , y-2) , BC / BD -6(y-2)=-3(x-3) ，即 x-2y+1=0由得：x =1y =1 D (1 , 1), AD = (-1 , 2)、3 ）夹角相等，且模为2的向量c的坐标。例3、求与向量a =C，3 , -1 )和b= (1 ,解题思路分析：T T厂b c =x+、3 y用解方程组思想法一：设 c= (x , y),贝U a c =、3x-y ,T T T T=又1 c |=込2 2 x +y =2V3+1x 由得丿2罷-1y_ 2即 x =(

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