数列知识要点梳理
11页1、知识要点梳理知识点一:数列的概念1、数列的定义:数列是按一定顺序排列的一列数,如1,1,2,3,5,an,可简记为an注意:(1)数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集1,2,n上的函数。函数当自变量 n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值,通常用代替 ,于是数列的一般形式为a1,a2,简记为。其中是数列的第n 项,也叫做通项。(2)数列的特征:有序性。一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的顺序有关,“顺 序”是对数列本质属性的刻画。(3)数列的定义域是离散的,因而其图象也是离散的点集。2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系,如果可以用一个公式来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。注意:不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1,2,3,1,4,2,就写不出通项公式;有的数列虽然有通项公式,但在形式上又不一定是唯一的。如:数列1,1,1,1,的通项公式可以写成,也可以写成;仅仅知道一个数列的前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的。3、数列的表示:(1)列举法:如-2,-5,-8,注意:数列的列举法与集合的列举法不一样,主要就是有序
2、与无序的差别。(2)图象法:由点组成的图象;是离散的点集。(3)解析式法:用数列的通项公式an=f(n),nN*或其他式子表示的数列。4、数列的分类:(1)按项数:有限数列和无限数列;(2)按单调性:递增数列、递减数列(递增数列与递减数列统称为单调数列);(3)按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分:有界数列、无界数列;(4)其他数列:摆动数列、常数列。5、数列的递推式:如果已知数列的第一项或前若干项,且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,简称递推式。注意:利用递推关系表示数列时,需要有相应个数的初始值。6、通项与前n项和的关系:任意数列的前n项和;注意:由前n项和求数列通项时,要分三步进行:(1)求,(2)求出当n2时的,(3)如果令n2时得出的中的n=1时有成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形式, 否则就只能写成分段的形式。知识点二:等差数列1概念与特征定义:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称作等差数列特征:(常数),或者()。注意:为等差数列(nN)=d (n2, nN)( d为常数)2通项
3、公式:; 注意:方程观点:公式中、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。函数观点:等差数列中,是关于n的一次函数(或常数函数),一次项系数k为公差d。几何意义:点(n,)共线;当k=d0时,为递增数列;当k=d0时,为递减数列;当k=d=0时,为常数列。3前n项和公式:;注意:方程观点:公式中有三个就可以利用方程得出余下的二个。函数观点:,为n的二次函数且常数项为04等差中项若a、b、c成等差数列,则b称为a与c的等差中项,正数m、n的等差中项也叫它们的算术平均数。5. 等差数列的主要性质:(1)通项公式的推广:(2)若,则;特别,若,则说明:这条性质,还可以推广到有三项、四项等情形。使用该性质时,一要注意等式两边下标和相等,二要注意等式两边和的项数应是一样多。(3)等差数列中,若.(4)公差为d的等差数列中,连续k项和, 组成新的等差数列。6判定一个数列为等差数列的常用方法定义法:(常数)是等差数列;中项公式法:是等差数列;通项公式法:(p,q为常数)是等差数列;前n项和公式法:(A,B为常数)是等差数列。注意:对于探索性较强的问题,则应注意从特例入手,归纳猜想一般特性。7
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