斐波那契数列
7页1、真诚为您提供优质参考资料,若有不当之处,请指正。斐波那契数列一、 简介斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。斐波那契数列指这样的数列:1,1,2,3,5,8,13,,前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为Fi,则Fi=Fi-1+Fi-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子?这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。二、 性质如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。令常数p,q满足Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)。则可得:Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)=q2(Fn-2-pFn-3)=qn-2(F2-pF1)又Fn-pFn-1=q(Fn-1-
2、pFn-2)Fn-pFn-1=qFn-1-pqFn-2Fn-1+Fn-2-pFn-1-qFn-1+pqFn-2=0(1-p-q)Fn-1+(1+pq)Fn-2=0p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组Fn-pFn-1= qn-2(F2-pF1)=qn-2(1-p)=qn-1Fn=qn-1+pFn-1=qn-1+p(qn-2+p(qn-3+)=qn-1+pqn-2+p2qn-3+pn-1不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到:而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=1.25+0.5。随意取出一组解即可:这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它,斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即:根据斐波那契数列通项公式,可以得到因为n是趋向于正无限的,因此我们可以知道:那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉,即这就是斐波那契数列的魅力之一它和黄金分割比有密切的关
3、系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。1)F1+F2+F3+.+Fn=Fn+2-1证明:原式=(F3-F2)+(F4-F3)+.+(Fn+2-Fn+1)=Fn+2-1.2)F1+F3+F5+.+F2n+1=F2n+2证明:原式=F2+(F4-F2)+(F6-F4)+.+(F2n+2-F2n)=F2n+23)F12+F22+.+Fn2=FnFn+1证明:利用数学归纳法,显然n=1时满足,下面证明若n=k时满足,n=k+1时也满足.已知F12+F22+.+Fn2=FnFn+1,F12+F22+.+Fn+12=FnFn+1+Fn+12=(Fn+1+Fn)Fn+1=Fn+1Fn+2,因此n+1后仍然满足.上述公式成立.4)F1F2+F2F3+.+FnFn+1=(Fn+22-FnFn+1-1)/2证明:数学归纳法,n=1时满足.已知F1F2+F2F3+.+FnFn+1满足,那么F1F2+F2F3+.+FnFn+1+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1-1)/2+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1+2Fn+1Fn+2-1)/2=(Fn+22+2Fn+1Fn+2+Fn+12
4、)- FnFn+1-Fn+12-1/2=(Fn+32-Fn+1Fn+2-1)/2,因此上式成立.5)Fn2=Fn-1Fn+1+(-1)n+1证明:数学归纳法,n=2时满足.已知前面的n都满足,那么Fn2=Fn-12+Fn-22+2Fn-2Fn-1=Fn-12+Fn-3Fn-1+(-1)n-1+2Fn-2Fn-1=Fn-1Fn+Fn-12+(-1)n-1=Fn-1Fn+1+(-1)n+1,因此上式成立.6)Fn+m=Fm-1Fn+FmFn+1(nm1)证明:利用通项公式,设=,=1-=注意到1/+=sqrt(5)=1/+,1/+=0=1/+,上式就变成了这就是上述公式的证明. 三、 斐波那契数列与自然斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e(可以推出更多),黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那些叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子
《斐波那契数列》由会员夏**分享,可在线阅读,更多相关《斐波那契数列》请在金锄头文库上搜索。
工程运输车辆专项整治工作方案(三篇)
燃气过滤器的设计(修改版)
在一日幼儿园活动中培养小班幼儿园安全意识
2022年专业技术人员生态体验式职业道德试题与答案(17页)
厂房租赁协议参考范本(8篇)
开学演讲稿集锦15篇
焊缝无损检测要求
(完整)人教版二年级数学万以内数的认识练习题
以人为本加强检察院队伍建设
安全培训记录考核签到表
《行政管理的功能》
科学提前招生试卷
心内科实习体会
人教版六年级下数学试卷
2023年关于最新班主任开学工作计划6篇(高中班主任开学工作计划)
2022年人监办上半年工作小结
餐饮服务员工作计划格式版(2篇).doc
2023年采购流程管理制度3篇
2021年中心学校业务副校长述职报告
平顶山微纳机器人设计项目建议书
2023-11-10 11页
2023-12-03 18页
2023-07-04 14页
2022-11-19 9页
2023-05-18 3页
2024-02-18 10页
2023-12-25 5页
2024-01-15 34页
2023-11-28 14页
2023-02-21 49页