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2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第卷1至2页, 第卷3至5页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式: 如果事件A, B互斥, 那么棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高. 如果事件A, B相互独立, 那么球的体积公式其中R表示球的半径. 一选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = xR| |x|2, A = xR| x1, 则 (A) (B) 1,2(C) 2,2(D) 2,1(2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y

2、2x的最小值为(A) 7(B) 4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64(B) 73(C) 512(D) 585(4) 已知下列三个命题: 若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是:(A) (B) (C) (D) (5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为, 则p = (A) 1(B) (C) 2(D) 3(6) 在ABC中, 则 = (A) (B) (C) (D) (7) 函数的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数. 设关于x的不等式的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是(A) (B) (C) (D) 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分.二填空题: 本

3、大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) 已知a, bR, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .(10) 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .(13) 如图, ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD/AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .(14) 设a + b = 2, b0, 则当a = 时, 取得最小值. 三解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数. () 求f(x)的最小正周期; () 求f(x)在区间上的最大值和最小值. (16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2,

4、 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). () 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. () 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. (17) (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1CEC1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. (18) (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. (19) (本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. (20) (本小题满分14分)已知函数. () 求函数f(x)的单调区间; () 证明: 对任意的t0, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.

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