随机过程与排队论

1、浙江工业大学2010/2011学年第1学期试卷课程_ 随机过程与排队论 姓名班级 通信一级学科硕士 2010级学号题序一-三四五六七八九十总评计分命题：一.多选题（3分1题，共10题）1.概率密度函数与概率特征函数成（B）关系。A.拉普拉斯变换对B.傅立叶变换对 C. Z变换对D.微积分2.常见连续分布包括：（BD）C.泊松分布D. Gamma 分布A.0-1分布B.咼斯分布3.离散型随机变量信息量最大的分布为:(C)A.均匀分布B.泊松分布C.咼斯分布D. 2分布4.高斯随机过程是：(B)A. 一阶矩过程B.二阶矩过程C.三阶矩过程D.高阶矩过程5.维纳过程属于：（A)A.咼斯过程B.泊松过程C.相关增量过程D.计数过程6.随机过程的收敛包括：（AB)A.依分布收敛B.均方收敛C.绝对收敛D.微分收敛7. Possion间隔是一个(A）的随机变量A.指数分布B.均匀分布C.止态分布D. Possion 分布8.带宽的定义包括：(ABCD)A.绝对带宽B.等效带宽C.有效带宽D. 3dB带宽9.常见判决规则有：(ABCD)A. Bayes 准则B.maxmin 准贝UC.MAP准则D.

2、Neyman-Pearson 准则10.排队系统的基本要素有：（ABCD)A.服务时间B.顾客达到过程C.排队规则D.服务系统的结构二计算题1、（10分）设n （t）,t 0是强度为3的泊松（Poisson）过程，试求:（1）P N （1 ）= 2, N（3）= 4, N（5）= 6；（2）P N（5）= 6 N（3）= 4。2、(10分)某保密通信系统采用软件无线电，其信号的调制方式有5种。若此通信系统一直 处于繁忙状态，在任何时刻只能采用其中一种信号调制方式，并且假设每经过一单位时间系 统要进行调制方式转换，在转换时，这5种不同的调制信号方式被选择的概率分别为1 /5, 2/5, 1/10, 1/10, 1/5，且每次转换之间是独立的。匚表示前n次信号转换中采用的信号调制方式n为第二种方式的次数，问七,n 1是否为齐次马氏链？如果是，写出其一步转移概率矩阵。n3、(15分)设到达火车站的顾客流遵循参数为九的Poission流 n (t), t 0，火车t时刻离开车 站，求在0,t 到达车站的顾客等待时间总和的期望值。4、( 10分)已知X，Y，Z为互相独立的随机变量，且其概率密度函

3、数分别为f (x)，f (y )，f (z),XYZ试求：(1) P X I 2, Z 2 2；(2) P min (X, Y,Z) 2；(3) P max (X, Y,Z) 0。试X/ T讨论X (t)的均方连续性、均方可微与均方可积性。6、( 15分)设随机相位过程为Z (t) = X sin t + Y cos t，其中X ， Y是相互独立的二兀随机变量，它们分别以2/3和1/3的概率取值-1和2。(1) 证明随机过程Z (t)是宽平稳过程，但不是严平稳过程；(2) 试求Z (t)的时平均。答案及评分标准:一、选择题1、B 2、BD 3、C 4、B 5、A 6、AB 7、A 8、ABCD 9、ABCD 10、ABCD二、计算题1、由题意知，p N (t )= k = 八e-入，式中X = 3。P N (1) =2, N (3)= 4, N(5)= 6N(5 )= 6 In(3)= 4x P (3)= 4 In(1 )= 2 x P N (1 )= 2 1)= P N (5 - 3)= 6 - 4x P N (3 - 1 )= 4 - 2x P N (1 )= 2-3)6-4 e-

4、X(5-3)(6 - 4)!(4 - 2)!2!X(3 - 12 e-X(3-1)X2e-X62 x e-662 x e-632 x e-3=1458 x e -15 = 0.00332)P (5 )= 6 In (3)= 4= P N (5 - 3)九(5 - 3 )6-4(6 - 4)!62 x e-6=0.046622、根据题意，此时的状态空间为S = 0,1,2,，由于调制方式的每次转换之间是独立的，因此,kn + 111n-1n-1 nP k= j k = i ,匚 =i ,匚=i= P所以此链是马氏链，且是齐次的，其一步转移矩阵为:(3/52/53/52/53/52/53、设第i个顾客到达火车站的时刻为s，i则0，t内到达车站的顾客等待时间总和为:S (t )=N (t)/、Z (t - S )i因为:i (t) N (t )= n = ES ) N (t)= n=nt - E J Z=nt / 2上式利用了 “Possion过程中，事件在每个时刻发生的可能性是相等的”(教材P74，定 理 2.9)。故:=E nt / 2nE S (t)= E b(t) N (t)= n=

5、-E n = - f nP N (t )= n =耳2 n224、1)由随机变量的独立性知道P X | 2, Z2 2= f5 f (x)dxf (y )dy 仃-I gZ(z )dz + f ； f (z )dzJ2) 由随机变量的独立性知道P min (X , Y, Z ) 2 = P X 2, Y 2, Z 2= fg f (x )dx fg f (y )dy fg f (z ife3) 类似于2),有P max (X , Y, Z ) 6 = P X 6, Y 6, Z 6= f6 f (x )dx f6 f (y )dy f6 f (z ifeXgYgZg4) 先计算概率分布函数F (u )= P U u = P max (X , Y, Z ) u = P x u, Y u, Z u U=fu f (x)dxju f (y )dyju f (z)dzg Xg Yg Zf (u ) = F (u ) = f (u )fu f (y )dy fu f (z )dz +UUXf (u )fu f (x)dx fu f (z)dz + f (u )fu f (x)dx fu f (y

6、 )dy Yg Xg ZZg Yg Zg Xg YF (v )= P v v = P min (X , Y, Z ) v V=1 P X u, Y u, Z u = 1 -fg f (x)dx f g f ( y )dy f g f (z )dz-F (v )(1 - F (v )(1 - F (v )XYZ(v ) +Z (v )= F (v )= f (v )(1 F (v )(1 FVVXY: (v )(1 - F (v )(1 - F (v )+ f (v )(1 - F (v )(1 - F (v )YXZZXY5、sin a (t t ) sin aT sin aT + a)注意到自相关函数RxG)= Sin嗔在T= 0点的取值为Rx (O ) = a，所以limR (t ) = a = R ( 0。由均方连续准则易知，X (t)均方连续。Tt 0XX2)由均方可导准则，对R (t ,t )求二阶广义导数:X 12limT 1，T 2 T 0 T 1T 21Tt1 = t2 =tlim严 2 T 0 T 1T 2R (t + T , t + T ) R(t + T , t)

7、 R (t, t + T ) + R(t, t )lim严 2 - 0 T 1T 2X12X1X2X1aT T1 21a 3T T6lim“ 2 T 0-t )-a 3 (t-t )3 + o (t-t)3aT -a 3t 3+ o(t)3aT -a 3t 3 + o (t)3123!121213!1123!22+ aT -T1 2T 2 +T 2 - (t -T )2.1 2 1 2=limT ,T T 012 1 23)均方可积性:JJ R (t , t )dt dtD X 1212Rsin a (t - t )JJ12 dt dtRt t121 2J-8f sin a (t2 J80t t12dt = J28宀十2 dt = 8-8 2 2所以X (t )在(-8 , +8)不是均方可积的。进一步易知,若限定为有界区间,则X (t)是均方可积的。6、(1) m (t ) = E X sin t + Y cos t = E X sin t + E y cos t = 0=E X 2 sin t sin t + E- 12X sin t + Y cos t12XY (sin t cos1)(X sin t + Y cos t )2 2=2 sin t sin t + 0 + 2 cos t cos t = 2 cos1 2 1 2t + cos t sin t )2 1 2(t -1)1 2+ E Y2 cos t cosl 1从而可以确定Z (t)是宽平稳过程。又因为E Z (t)3= EX sin t + Y cos t )3 =E X 3 sin 31 + 3 E X 2 Y sin 21 cos t + 3 E XY 2 sin t cos 2 t + E Y3 cos=2 sin 31 + 0 + 0 + 2 cos 31 = 231 + cos 3 t )可见，Z (t)的三阶矩与t有关，所以Z (t)不是严格平稳的。(X sin t + Y cos t )dt = lim Z (t) = li

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