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王高雄版《常微分方程》习题解答5.2

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1、习题5.20241202 02412031.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。解：令的第一列为(t)=,这时(t)=(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)= (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2.考虑方程组x=A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a上的连续nn矩阵，它的元素为a(t),i ,j=1,2,na) 如果x(t),x(t),x(t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式Wx(t),x(t),x(t)W(t)满足下面的一阶线性微分方程W=a(t)+a(t)+a(t)Wb) 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t)e t,ta,b解：w(t)=+=+=+整理后原式变为（a+a）=（a+a）w(t)=（a(t)+a(t)）w(t)b)由于w(t)= a(t)+a(t) w(t),即= a(t)+a(t)dt两边从t到t积分ln-ln=即w(t)=w(t)e,ta,b3.设A(t)为区间a上的连续nn实矩阵，为方程x=A(t)x的基解矩阵，而x=(

2、t)为其一解，试证：a) 对于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常数；b)(t)为方程y=-A(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使(t) (t)=C.解a) (t) (t)= (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)又因为=-A(t) (t)，所以=-(t) A(t) (t) (t)=- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,所以对于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常数b) “”假设为方程y=-A(t)y的基解矩阵，则 (t) (t)=(t)+(t) (t)=- A(t) (t)+ (t) A(t) )+ (t) A(t) (t)=- (t) A(t) +(t) A(t) =0,故(t) (t)=C“”若存在非奇异常数矩阵C，detc0,使(t) (t)=C，则 (t) (t)=(t)+ (t)=0，故(t)(t)=-(t) (t)A(t)(t)=- (t) A(t) 所以(t)=- (t) A(t),(t)=- (t) A(t)即(t)为方程y=-A(t)y的基解矩阵4.设为方程x=Ax（A为

3、nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值. 证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)5.设A(t),f(t)分别为在区间a上连续的nn矩阵和n维列向量，证明方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。证明：设x,x,x是x=A(t)x的n个线性无关解，是x=A(t)x+f(t)的一个解，则x+, x+, x+,都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C,(I=1,2,n)使得+c=0,从而x+, x+, x+,在a上线性相关，此与已知矛盾，因此x+, x+, x+,线性无关，所以方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：的解，则是方程组的解。证明：（1）（2）分别将代入（1）和（2）则则令即证 7考虑方程组，其中a)试验证是的基解矩阵；b)试求的满足初始条

4、件的解。证明：a)首先验证它是基解矩阵以表示的第一列则故是方程的解如果以表示的第二列我们有故也是方程的解从而是方程的解矩阵又故是的基解矩阵；b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解而8、试求，其中满足初始条件的解。解：由第7题可知的基解矩阵则若方程满足初始条件则有若则有9、试求下列方程的通解：a)解：易知对应的齐线性方程的基本解组为这时由公式得通解为b)解：易知对应的齐线性方程的基本解组为是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解：易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为因为是对应的齐线性方程的解故也是原方程的一个解故方程的通解为10、给定方程其中f(t)在上连续，试利用常数变易公式，证明：a)如果f(t)在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；b)如果当时，则上面方程的每一个解（当时）。证明：a)上有界存在M0,使得又是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数使得从而故上面方程的每一个解在上有界b)时，当tN时由a)的结论故时，原命题成立 11、给定方程组（5.15）这里A(t)是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在，上连续，试证明初值问题：（*）的唯一解是积分方程组（*）的连续解。反之，（*）的连续解也是初值问题（8）的解。证明：若是（*）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式即（*）的解满足（*）反之，若是（*）的解，则有两边对t求导：即（*）的解是（*）的解

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