平面向量的实际背景及基本概念柳州第三中学

1、第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念整体设计教学分析本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念由于向量来源于物理,并且兼具 数”和形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象 几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型力是常见的物理量重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方 向的量物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念 ，并建立学习向量的认知基础.三维目标1. 通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及 确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别2. 理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨 认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等

2、的向量3. 在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这 一特性重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（情境导入）如图1,在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东 方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论 ：追不上，猫的速度再快也没用，因为 方向错了 .教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定马”走日，象走 田”让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择 新知探究 提出问题 在物理课中，我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样 特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？ 新的概念是对这些具有共同特征的量的描述，应怎样定义这样的量呢？ 数量与向量的区别在哪里？活动：

3、教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一 些量物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到 的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是 既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长 度、面积、体积、质量等称为数量 ，物理学上称为标量显然数量和向量的区别就在于方向问 题进一步提出问题 如何表示向量？ 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？ 如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ 数量与向量有什么区别 ？ 数学中的向量与

4、物理中的力有什么区别？活动：教师指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论以上问题 讨论结果：向量也可用字母 a，b，c，表示（印刷用粗黑体表示），手写用a T来表示，或用表示 向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 AB、CD 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段 ，其有三个要素：起点、方向、长度 向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素 ，与起点无关，只要大小和方向相同，则 这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同也是不同的有向线段 长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长度的向量，叫单位向量但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 是平行向量平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量 ；第二，我们规定0与任一向量平行即 0/ a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a，b，c平行，记作a/ b / c.如图3._LC O B A

5、 r图4又如图4,a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线0平行的直线I,在I上任取一点0,则可在I上分别作出OA = a,0B= b,OC= c这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一 直线上，因此,平行向量也叫做共线向量说明：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系 是共线向量，也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行 线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小. 力有大小、方向、作用点三个要素，而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的，只有大小与方向两个要素，与起点的位置无关应用示例例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由(1) ABCD中，AB与CD是共线向量；(2) 单位向量都相等活动:教师引导学生画出平行四边形，如图7.因为AB/CD,所以AB / CD 由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量

6、不一定相等，即单位向量模均相等且为1,但方向不确定解:(1)正确；(2)不正确点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好例2如图8,设0是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与 0A0B0C相等的量解:0A=CB=D0；0B=DC=E0；0C = AB = E5 = F0.点评:向量相等是一个重要的概念 ，今后经常用到让学生在训练中明确，向量相等不仅大 小相等，还要方向相同变式训练本例变式二：是否存在与向量 0A长度相等、方向相反的向量？（存在）例3下列命题正确的是（）A. a与b共线,b与c共线，则a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行答案:C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可要启发学生注意这两方面的结合 变式训练1判断:（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量

7、？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）2把一切单位平面向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A一条线段B一段圆弧C.两个点D. 个圆答案:D3将平行于直线的所有单位向量的起点平移到冋一始点，则这些向量的终点所构成的图形是（）A. 个点B.两个点C. 一个圆D一条线段答C.课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好作业：课本习题2.11、2.教学反思本节是平面向量的第一节，属于概念课”概念的理解无疑是重点，但也是难点本教案设 计的指导思想是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法都明白了不少，应该有很多的成功之处或收获对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，这些会在以后的学习中弥补过来的

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