一致收敛函数列与函数项级数的性质

1、精品文档 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学计划：4课时.教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用.教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性.教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质.教学方法：讲授法.教学步骤：本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性.定理13. 8设函数列fn在a,xoixo,b上一致收敛于f x，且对每个n ,lim fn x 二 an 则lim an和lim f (x )均存在且相等.xXonX.Xo证 先证：an是收敛数列对任意； 0,由于：fn一致收敛，故有 N,当n N和 任意正整数 p，对一切a,xo Lxo,b有fn(X) 卩切 &(1)从而an an” = lim fn(X ) fn+p(x 兰呂IX0这样由柯西准则可知 ：an是收敛数列.设 lim an 二 A.再证 lim f x = A.n .x )Xo由于fn(x) 致收敛于f (X)及an收敛于A,因此对任意；0,存在正数N,当n N 时，对任意(a, x0)U (x0, b)f n ( X)- f (x)| 上

2、和 a _ A c 兰33同时成立.特别取n = N 1,有I zI zfN+(x f (x) 0,当 0 x x时，sfNdl(x)aN 比 V?这样，当X满足Oclx xc时，f(x)A f(x) fN*(x)|+|fN+(x)aN彳+n+ Az z z,333即 lim f x i=A.xx0这个定理指出：在一致收敛的条件下，fn(x)中两个独立变量X与n，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即lim lim fn x 二 lim lim fn x .(2)X % n 1： ：n J： ：x X)类似地，若fn(x)在 a,b上一致收敛且l i mfn(x)存在，可推得la十lim lim fn x = lim lim fn x .；若 fn(x)在 a,b 上一致收敛和 lim fn (x)存在，则可推X )a * ：n ：x )a x jb 得 lim lim fn x = lim lim fn x .xb ninjxb 由定理13.8可得到以下定理.定理13.9 （连续性）若函数列fn ?在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f在上也连续.证 设X0为上任一点。由

3、于lim fn x = fn冷，于是由定理13.8知lim在，且 lim f x = lim fn x0 = f x0 ,因此 f（x）在 x0 上连续.由定理13.9可知：若各项为连续函数的函数列在区间上其极限函数不连续，数列在区间：上不一致收敛.例如：函数列 *n *的各项在-1,11上都是连续的，但其极限函数0,-1 ： x ： 1,1. 1，x = 1xn 在-1,11上不一致收敛。若函数列ifn ”=在a,b 1上一致收敛，且每一项都连续，a lim fn x dx lim f fn x dx.3n n 八：证设f为函数列、fn /在 la,b 1上的极限函数。由定理13.9, f在la, b 1上连续，从而fn n二1,2，与f在a,b 上都可积.因为在a, b 上 fn* a,b 1,都有在x =1时不连续，从而推得 定理13.10 （可积性）再根据定积分的性质，当f x亦存则此函f(x)=f-，故对任给正数:，存在N，当n N时，对一切Tfn(x)- f (x) 名.n N时有必 fn(X)dX f(X)dX =|ja(fn(X) f(X)dX兰 E fn(X) f (

4、X)dX b - a .这就证明了等式（3）.这个定理指出：在一致收敛的条件下， 例1设函数极限运算与积分运算的顺序可以交换.CC /12n an,2n11fn(x)2an 2nanX,兰 x v , n= 1,2,.2nn10,丄 X1,Ln其图象如图.13 - 4所示.显然1fn(x*是0,1 上连续函数列，且对任意fn(X)0 = an，因此x b1!lim_fn(x) =0.又fn(x)?在0,1上一致收敛于0的充要条件是an ； 0 n 1a11由于 fn (x)dx -，因此fn(x)dx；f(x)dx=0的充要条件02n00an是 lim n 二 0. Y 2n 这样当an三1时，虽然 f x 1不一致收敛于f x，但定理13.10的结论仍成立但当an件,_ 1 1 1If n X ；不一定收敛于f X，且 f n X dX 也不收敛于。fn X dX = 0 例1说明当（fn X ?收敛于f X时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条 但不是必要条件.定理13.11（可微性）设 f 为定义在a,b 1上的函数列，若x。 a,b 1为:fn /的收敛 f 的每一项在

5、a,b 1上有连续的导数，且在a,b 1上一致收敛，则lim fn X = lim A fn X .dx n =n(4)证 设 fn X。A n_：n g n _：，x：= a,b ,我们要证明函数列:fn 在区T间b,b上收敛，且其极限函数的导数存在且等于g .由定理条件，对任一a, b，总有Xfn（X）= fn（X。）+ X fn（t 妣bXoX当nT或时，右边第一项极限为 A，第二项极限为（g（tdt （定理13.10）,所以左边极限 X。存在，记为f，则有Xf（x）=lim fn（x）= f （x。）+ J g（t ）dt,Xo其中f x。= A.。由g的连续性及微积分学基本定理（第十章5）推得这就证明了等式（4）.f = g.在定理13.11的条件下，还可推出 b,b 上 fn f n -,请读者自己证明.T与前面两个定理一样，一致收敛条件是极限运算与求导运算交换的充分条件，而不是 必要条件.例2函数列1nxfn X ln（1 n2X2）, n =1,2, 与 f ；2 2 ,n = 1,2,2n1 + n 2x2在0,11上都收敛于0，由于1 lim m a*n x _ f

6、 x = _, n )二 X 0,1 r2所以导函数fn X在0,1 1上不一致收敛，但有nimfn x 心 nmfnx .在上述三个定理中，我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子。在今后的进一步学习中（如实变函数论）我们将讨论使上述定理 成立的较弱的条件。但在目前的一 般情况下，只有满足一致收敛的条件，才能保证定理结论的成立。现在讨论定义在区间a, b i上函数项级数U1（X）+U2（X）+Un（X）+（5）的连续性、逐项求积与逐项求导的性质，这些性质可由函数列的相应性质推出.定理13.12 （连续性）若函数列级数 、un x在区间a,b 1上一致收敛，且每一项都连 续，则其和函数在a, b 1上也连续.这个定理指出：在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序, lim 比 x 二 lim、叫 x 6/xoxxo定理13.13 （逐项求积）若函数列级数 7 un x在a,b 上一致收敛，且每一项un x都 连续，则bb aUn x dx = aUn x dx.7定理13.14 （逐项求导）若函数列级数un x在a,b 1上每一项都有连续的导函数，X。F a

7、,bl为7 Un x的收敛点，且7 un x在a,b 1上一致收敛，则d Un x d u n x .8dxdx定理13.13和13.14指出，在一致收敛条件下，逐项求积或求导后求和等于求和后再求 积或求导.最后，我们指出，本节中六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关 系式（2） -（4）, （6） -（8）,更重要的根据定理的条件，即使没有求出极限函数或函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质. 例3设1 2 2Un x亍1 n（1 n x ）, n =1,2,n证明函数项级数 7 un X在0,11上一致收敛，并讨论其和函数在1.0,1 1上的连续性、可积性与 可微性.证 对每一个，易见Un X为0,1 1上增函数，故有1Un x -Un 13ln 1n2 , n =1,2,.n又当t -1时，有不等式ln 1 t2 : t，所以1 1 1un x 亍 ln 1 n2 亍 *n 2 , n = 1,2,nnnA以收敛数工为二：un x的优级数，推得工un x在0,11上一致收敛.n由于每一个un X在0,1 上连续，根据定理13.12与定理13.13 ,、un x的和函数S x在0,1 上连续且可积。又由2x . 2x 1n =1,2/ .u n x ”： ”222n 1 n x x 2nx n即v 2也是7 un x的优级数，故 7 un x也在0,11上一致收敛。由定理 13.14,n得S x在0,11上可微.口作业布置：P415.

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