专题06 分式及应用的核心知识点精讲（解析版）-备战2024年中考数学一轮复习（全国通用）

1、 专题06 分式及应用的核心知识点精讲1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感2熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力3能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识【题型1：分式方程及其解法】【典例1】（2023凉山州）解方程：【答案】x2【解答】解：去分母得：x（x1）2，去括号得：x2x2，移项得：x2x20，（x2）（x+1）0，x2或x1，将x2代入原方程，原方程左右相等，x2是原方程的解将x1代入，使分母为0，x1是原方程的增根，原方程的解为：x21（2023山西）解方程：【答案】x【解答】解：由题意得最简公分母为2（x1），原方程可化为：2+2x23x检验：把x代入2（x1）10，且原方程左边右边原方程的解为x2（2023陕西）解方程：【答案】x【解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2x（x+5）（x+5）2，去括号得：2x2x25xx2+10x+25，移项，合并同类项得：15x25，解得：x，经检验，x是分式方程的解，故原方程的解为：x3（2022眉山）

2、解方程：【答案】x4【解答】解：，方程两边同乘（x1）（2x+1）得：2x+13（x1），解这个整式方程得：x4，检验：当x4时，（x1）（2x+1）0，x4是原方程的解4（2022西宁）解方程：0【答案】x7【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x1）得：4（x1）3（x+1）0去括号得：4x43x30，移项，合并同类项得：x7检验：当x7时，x（x+1）（x1）0，x7是原方程的根x7【题型2：分式方程的应用】【典例2】（2023通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案【答案】（1）每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元【

3、解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，由题意得：，解得：x90，当x90时，x（x+10）0，x90是分式方程的根，x+1090+10100，答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，由题意得：，解得：10m12，w1.5m+2（30m）0.5m+60；0.50，w随m的增大而减小，当m12时，w最小，此时w0.512+6054，购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元1（2023长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】200个摆件【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x200，经检验，x200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件2（2023宁夏

4、）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：+30，解得x5，经检验x5是原方程的解乙：1.6，解得x65，经检验x65是原方程的解则甲所列方程中的x表示 B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示 A型玩具的数量（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？【答案】（1）B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）116个【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200a）个，根据题意得：8a+5（200a）1350，a116，整数a最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个3（2023黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载

5、人飞船在酒泉发射中心发射升空某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6种购买方案；（3）m5【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，根据题意得：，解得：x40，经检验，x40是所列方程的解，且符合题意，x+1040+1050答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300y）件B款文化衫，根据题意得：，解得：275y280，又y为正整数，y可以为275，276，277，278，279，280，共有6种购买

6、方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w500.7y+（40m）（300y）（m5）y+300（40m），（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，w的值与y值无关，m50，m5答：m的值为54（2023泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）10元；（2）该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据题意，得，解得x10或x12（舍去），经检验，x10是原分式方程的根，且符合题意，答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润

7、为w元，根据题意，得12m+10（400m）4600，解得m300，w（2012）m+（1610）（400m）2m+2400，20，w随着m增大而增大，当m300时，w取得最大值，最大利润为2300+24003000（元），答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元【题型3：与分式方程的解有关的问题】【典例3】（2023黑龙江）已知关于x的分式方程+1的解是非负数则m的取值范围是（）Am2Bm2Cm2且m2Dm2且m2【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m+x2x，解得：x，由分式方程的解是非负数，得到0，且20，解得：m2且m2，故选：C1（2023齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）Am1Bm1且m0Cm1Dm1且m2【答案】D【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2xmx+1，移项，合并同类项得：xm+1，原分式方程的解是负数，m+10，且m+1+10，解得：m1且m2，故选：D2（2023淄博）已知x1是方程的解，那么实数m的值为（）A2B2C4D4【答案】B【解答】解：将x1代入方程，得：3，解得：

8、m2故选：B3（2023巴中）关于x的分式方程+3有增根，则m1【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘（x2）得：x+m13（x2），由题意得：x2是该整式方程的解，2+m10，解得：m1，故答案为：11（2023秋乐亭县期中）解方程去分母，两边同乘（x1）后的式子为（）A123xB12（x1）3xC12（1x）3xD12（x1）3x【答案】B【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x1）后的式子为：12（x1）3x，故选：B2（2023秋株洲期中）分式方程的解是（）Ax9Bx6Cx5Dx2【答案】A【解答】解：原方程去分母得：7（x+3）2（2x3），去括号得：7x+214x6，移项，合并同类项得：3x27，系数化为1得：x9，经检验，x9是分式方程的解，故选：A3（2022秋朔城区期末）若关于x的分式方程无解，则n（）A1B0C1D【答案】A【解答】解：，去分母，得 x+x+2n1，合并同类项、系数化为1，得 ，由题意可知，分式方程的增根为x2，即有，解得n1故选：A4（2023秋冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（）ABCD【答案】A【解答】解：由题意得：+240，故选：A5（

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