高考数学圆锥曲线知识点总结
10页1、高考数学圆锥曲线知识点总结方程的曲线:在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0。两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。二、圆:1、定义:点集MOM=r,其中定点O为圆心,定长r为半径.2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程:当D2+E2-4F0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为半
2、径是。配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-,-);当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则MCr点M在圆C内,MC=r点M在圆C上,MCr点M在圆C内,其中MC=。直线和圆的位置关系:直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交有两个公共点;直线与圆相切有一个公共点;直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义:平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0e1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e1时,轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线:椭圆、双曲线、抛物线性质对比椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之
3、和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1)1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集:(MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集:MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.图形方程标准方程(0)(a0,b0)参数方程(t为参数)范围axa,byb|x| a,yRx0中心原点O(0,0)原点O(0,0)顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2bx轴,y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)准 线x=准线垂直于长轴,且在椭圆外.x=准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.焦距2c (c=)2c (c=)离心率e=1【备注1】双曲线:等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,
4、叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:.共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.【备注2】抛物线:(1)抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=- ,开口向右;抛物线=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,开口向左;抛物线=2py(p0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=-,开口向上;抛物线=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下.(2)抛物线=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离;抛物线=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离(3)设抛物线的标准方程为=2px(p0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p.(4)已知过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长=+p或(为直线AB的倾斜角),(叫做焦半径).五、坐标的变换:(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.
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