郭硕鸿《电动力学》课后答案
40页1、电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:解:(1)(2)在(1)中令得:,所以 即 2. 设是空间坐标的函数,证明: , , 证明:(1)(2)(3) 3. 设为源点到场点的距离,的方向规定为从源点指向场点。(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系: ; ; ; , 。(2)求 , , , ,及 ,其中、及均为常向量。(1)证明: 可见 可见 , (2)解: 因为,为常向量,所以, ,又, 为常向量,而,所以 4. 应用高斯定理证明,应用斯托克斯(Stokes)定理证明证明:(I)设为任意非零常矢量,则根据矢量分析公式 ,令其中,便得所以 因为是任意非零常向量,所以(II)设为任意非零常向量,令,代入斯托克斯公式,得 (1)(1)式左边为: (2)(1)式右边为: (3)所以 (4)因为为任意非零常向量,所以5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ,利用电荷守恒定律证明p的变化率为:证明:方法(I)因为封闭曲面S为电荷系统的边界,所以电流不能流出这边界,故, 同理 , 所以 方法(II)根据并矢的散度公式得:6. 若m是常
2、向量,证明除点以外,向量的旋度等于标量的梯度的负值,即,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。证明:其中 , () , ()又 所以,当时,7. 有一内外半径分别为和的空心介质球,介质的电容率为,使介质球内均匀带静止自由电荷,求:(1)空间各点的电场;(2)极化体电荷和极化面电荷分布。解:(1)设场点到球心距离为。以球心为中心,以为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知,电场沿径向分布,且相同处场强大小相同。当时, 。当时, , ,向量式为 当时, 向量式为 (2)当时,当时,当时,8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定均匀自由电流,导体的磁导率为,求磁感应强度和磁化电流。解:(1)以圆柱轴线上任一点为圆心,在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路,设其半径为。由对称性可知,磁场在垂直于轴线的平面内,且与圆周相切。当 时,由安培环路定理得:当 时,由环路定理得:所以 , 向量式为 当 时,所以 , 向量式为 (2)当 时,磁化强度为所以 在 处,磁化面电流密度为在 处,磁化面电流密度为向量式为 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。证
3、明:在均匀介质中 所以 10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力:,而 , (1)同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力: (2)(1)式中:同理(2)式中: 11. 平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为和,电容率为和,今在两板接上电动势为E 的电池,求:(1)电容器两极板上的自由电荷面密度和;(2)介质分界面上的自由电荷面密度。(若介质是漏电的,电导率分别为和 当电流达到恒定时,上述两物体的结果如何?)解:忽略边缘效应,平行板电容器内部场强方向垂直于极板,且介质中的场强分段均匀,分别设为和,电位移分别设为和,其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时,介质内没有自由电荷,因此,介质分界面处自由电荷面密度为取高斯柱面,使其一端在极板A内,另一端在介质1内,由高斯定理得:同理,在极板B内和介质2内作高斯柱面,由高斯定理得:在介质1和介质2内作高斯柱面,由高斯定理得:所以有 , 由于 E 所以 E 当介质漏电时,重复上述步骤,可得:, , 介质1中电流密度 介质2中电流密
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