高三数学概念(上下)

1、目录第14章空间直线与平面214.1平面及其基本性质214.2空间直线与直线的位置关系314.3空间直线与平面的位置关系314.4空间平面与平面的位置关系4第15章简单几何体415.1多面体的概念415.2多面体的直观图515.3旋转体的概念515.4几何体的表面积615.5几何体的体积715.6球面和距离8第16章排列组合与二项式定理816.1计数原理I乘法原理816.2排列816.3计数原理II加法原理916.4组合916.5二项式定理10第17章概率论初步1017.1古典概型1017.2频率与概率11第18章基本统计方法1218.1总体和样本1218.2抽样技术1318.3统计估计13第14章空间直线与平面14.1平面及其基本性质点A在直线上，或直线经过点A，记作；点B不在直线上，记作。点A在平面上，或平面经过点A，记作；点B不在平面上，记作。如果直线上的所有点都在平面上，那么称直线在平面上（或平面经过直线），记作公理1如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上。如果直线与平面只有一个公共点A，那么称直线与平面相交于点A，或称A是直线与平面的交点，记作；如果直线与平面没有公共点

2、，那么称直线与平面平行，记作或。对于空间不同的两个平面、，如果它们有公共点，即，那么称平面与平面相交。公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线。如果两个平面与没有公共点，那么称平面与平面平行，记作或如果平面与平面有三个公共点A、B、C（它们不在同一直线上），那么平面与就完全重合（记作）公理3不在同一直线上的三点确定一个平面。推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面。推论2两条相交的直线确定一个平面。推论3两条平行的直线确定一个平面。14.2空间直线与直线的位置关系公理4平行于同一直线的两条直线相互平行。定理1如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。把不能置于同一个平面的两条直线叫做异面直线。对于异面直线和，在空间任取一点P，过P分别作和的平行线和，把和所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角。14.3空间直线与平面的位置关系如果一条直线与平面上的任何直线都垂直，那么就说直线与平面垂直。记作，直线叫做平面的垂线，与的交点叫做垂足。定理2如果直线与平面上的两条相交直线、都垂直，那么直线与平面垂直。（1） 设M是平面外一点，过点M作平面的垂

3、线，垂足为N，把点M到N之间的距离叫做点M和平面的距离。（2） 设直线平行于平面，在直线上任取一点M，把点M到平面的距离叫做直线和平面的距离。（3） 设平面平行于平面，在平面上任取一点M，把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。（4） 设直线与直线是异面直线，当点M、N分别在上、，且直线MN既垂直于直线，又垂直于直线时，把直线MN叫做异面直线、的公垂线，垂足M、N之间的距离叫做异面直线和的距离。当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交，直线叫做平面的斜线。设直线与平面斜交于点M，过上任意点A，作平面的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面上的射影，直线OM叫做直线在平面上的射影，并规定直线与其在平面上的射影OM所成的锐角叫做直线和平面所成的角。规定，当直线与平面垂直时，它们所成的角等于；当直线与平面平行或直线在平面上时，它们所成的角为。14.4空间平面与平面的位置关系设两个平面、相交于直线AB，AB将、分别分割成两个半平面，由、的半平面及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角，记作。交线AB叫做二面角的棱，两个半平面、叫做二面角的面。为了刻画二面角的大小，在二面角的棱AB上任取一点O

4、，过O分别在面、上作棱AB的垂线OM和ON，射线OM和ON所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小就用它的平面角来度量。当二面角的平面角是时，就说这个二面角是（）第15章简单几何体一、多面体15.1多面体的概念在数学中，把由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体，构成多面体的各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面，其相邻多边形（或三角形）的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点。1、 棱柱一般地，如果一个多面体有两个全等的多边形的面相互平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱。棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形。不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形，该棱柱也叫做平行六面体。侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的高与侧棱的长相等。底面是矩形的直棱柱叫做长方体，所有棱长都相等的长方体叫做正方体，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。2、 棱锥如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱

5、锥。棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥的侧面都是三角形。不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱，侧棱的公共点叫做棱锥的顶点，顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高。如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与基点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。易知正棱锥的各条侧棱和相等，各个侧面都是全等的等腰三角形，正棱锥的高与其顶点到底面中心的距离相等。zxy15.2多面体的直观图(1) 规定按图所示位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左可方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做z轴、y轴、x轴。(2) 规定在z轴和y轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一。有了以上规定之后，可在铅垂方向、左右方向和前后方向分别测量空间图形在对方方向上线段的长度，并计算出这些线段在x轴、y轴和z轴方向上相应的长度，从而画出空间图形的直观图。用这种方法画的空间图形的直观图叫做斜二轴测图，简称“斜二测”画图法。“斜二测”画图法有两条重要性质：1） 平行直线的斜二测图仍是平行直线；2） 线段及其线段上定比分点的斜二测力保持原比例不变。二、旋转体15.3旋转

6、体的概念平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在盖布上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴。1、 圆柱将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱。AB所在的直线叫做圆柱的轴，线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，CD叫做圆柱的母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做圆柱的高。2、 圆锥类似地，将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。AB所在直线叫做圆锥的轴，点A叫做圆锥的顶点，直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AC叫做圆锥的一条母线，圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高。易知，圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点，每条母线与轴的夹角都相等。3、 球将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径AB所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球O。半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。三几何体的表面积、体积和球面距离15.4几何体的表面

7、积1、 直柱体的表面积直棱柱的侧面积式中：h和c分别是直棱柱的高和底面周长直棱柱的表面积圆柱的侧面积式中：为圆柱底面的周长，h为高圆柱的表面积2、 锥体的表面积正棱锥的侧面积正棱锥的表面积其中h是正棱锥侧面等腰三角形的高，也称斜高，c是正棱锥底面的周长。圆锥的侧面积圆锥的表面积其中r、h分别是圆锥底面半径和母线长。15.5几何体的体积1、 柱体的体积棱柱的体积与长方体的体积相等，即其中V棱柱、S、h分别表示棱柱的体积、底面积和高。圆柱体的体积也满足其中S为圆柱的底面积，r和h分别为圆柱的底面半径和高。2、 锥体的体积等底等高的三棱锥的体积相等。三棱锥的体积其中S和h分别是三棱锥的底面面积和高。如果n棱锥的底面面积为S，高为h，那么它的体积公式为圆锥的体积其中r为圆锥底面的半径。3、 球的体积球的体积其中r为球的半径。15.6球面和距离在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离。第16章排列组合与二项式定理16.1计数原理I乘法原理乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法

8、，那么完成这件事共有种不同的方法。16.2排列一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。这里mn。这个公式叫做排列数公式。n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。这时排列数公式中mn，即有这就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的边乘积。正整数1到n的边乘积，叫做n的阶乘。用表示。这样，n个不同元素的全排列数公式可心写成当0mn且m、nN*时为使该公式在mn时也能成立，规定16.3计数原理II加法原理加法原理：如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。16.4组合一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。这里mn。这个公式叫做组合数公式。组合数公式还可以写成性质1为了使上面的公式在mn时也能成立，规定。性质216.5二项式定理一般地，对于任意正整数n有这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，它一共有n+1项，其中各项系数（r=0,1,2,3,，n）叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第r+1项，用Tr+1表示，即一般地，二项式系数有如下性质：性质1（a+b）n的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。性质2（a+b）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n。第17章概率论初步17.1古典概型概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。把一次试验可能出现的结果叫做基本事件。1）一次试验所有的基本事件只有有限个，2）每个基本事件出现的可能性相等。把具有这两个特点的概率模型叫做古典概型。对于在一定条件下可能出现也可能不出现，且有统计规律性的现象

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