数值分析第五版答案(全)
99页1、第一章 绪论1设,的相对误差为,求的误差。解:近似值的相对误差为而的误差为进而有2设的相对误差为2%,求的相对误差。解:设,那么函数的条件数为又, 又且为23以下各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:, , ,解:是五位有效数字;是二位有效数字;是四位有效数字;是五位有效数字;是二位有效数字。4利用公式(2.3)求以下各近似值的误差限:(1) ,(2) ,(3) .其中均为第3题所给的数。解:5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?解:球体体积为那么何种函数的条件数为又%1故度量半径R时允许的相对误差限为rV*=13*1%=13006设,按递推公式 n=1,2,计算到。假设取5位有效数字,试问计算将有多大误差?解: 依次代入后,有即,假设取, 的误差限为。7求方程的两个根,使它至少具有4位有效数字。解:,故方程的根应为故 具有5位有效数字具有5位有效数字8当N充分大时,怎样求?解 设。那么9正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过?解:正方形的面积函数为.当时,假设,那么故测量
2、中边长误差限不超过时,才能使其面积误差不超过10设,假定g是准确的,而对t的测量有秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减少。解: 当增加时,的绝对误差增加当增加时,保持不变,那么的相对误差减少。11序列满足递推关系 (n=1,2,),假设三位有效数字,计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?解:又 又 计算到时误差为,这个计算过程不稳定。12计算,取,利用以下等式计算,哪一个得到的结果最好?, , , 。解:设,假设,那么。假设通过计算y值,那么假设通过计算y值,那么假设通过计算y值,那么通过计算后得到的结果最好。13,求的值。假设开平方用6位函数表,问求对数时误差有多大?假设改用另一等价公式。计算,求对数时误差有多大?解, 设那么故假设改用等价公式那么此时,第二章 插值法1当时,,求的二次插值多项式。解:那么二次拉格朗日插值多项式为 2给出的数值表Xlnx用线性插值及二次插值计算的近似值。解:由表格知,假设采用线性插值法计算即,那么 假设采用二次插值法计算时, 3给全的函数表,步长假设函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求近似值时的总误差界。解:求解近似值时,误差
3、可以分为两个局部,一方面,x是近似值,具有5位有效数字,在此后的计算过程中产生一定的误差传播;另一方面,利用插值法求函数的近似值时,采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此,总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当时,令取令那么当时,线性插值多项式为插值余项为又在建立函数表时,表中数据具有5位有效数字,且,故计算中有误差传播过程。总误差界为4设为互异节点,求证:1 2 证明(1) 令假设插值节点为,那么函数的次插值多项式为。插值余项为又 由上题结论可知得证。5设且求证:解:令,以此为插值节点,那么线性插值多项式为 =插值余项为6在上给出的等距节点函数表,假设用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?解:假设插值节点为和,那么分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h,即假设截断误差不超过,那么7假设,解:根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 8如果是m次多项式,记,证明的k阶差分是次多项式,并且为正整数。解:函数的展式为其中又是次数为的多项式 为阶多项式为阶多项式依此过程递推,得是次多项式是常数当为正整数时,9证明证明 得证10证明证
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