最值系列之瓜豆原理
17页1、最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路一、轨迹之圆篇引例1:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,任意时刻,均有AMQAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,由A、Q、P始终共线可得:A、M、O三点共线,由Q为AP中点可得:AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系引例2:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQAP且AQ=AP考虑:当点P在圆O上运动时,Q
2、点轨迹是? 【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO;考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置,任意时刻均有APOAQM引例3:如图,APQ是直角三角形,PAQ=90且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?【分析】考虑APAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO;考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆M位置,任意时刻均有APOAQM,且相似比为2【模型总结】为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”,点Q为“从动点”此类问题的必要条件:两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(PAQ是定值);主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:PAQ=OAM;(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相
3、当于旋转+伸缩古人云:种瓜得瓜,种豆得豆“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”【思考1】:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边APQ考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?【分析】Q点满足(1)PAQ=60;(2)AP=AQ,故Q点轨迹是个圆:考虑PAQ=60,可得Q点轨迹圆圆心M满足MAO=60;考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置,任意时刻均有APOAQM【小结】可以理解AQ由AP旋转得来,故圆M亦由圆O旋转得来,旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系【思考2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角APQ考虑:当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹?【分析】Q点满足(1)PAQ=45;(2)AP:AQ=:1,故Q点轨迹是个圆连接AO,构造OAM=45且AO:AM=:1M点即为Q点轨迹圆圆心,此时任意时刻均有AOPAMQ即可确定点Q的轨迹圆【练习】如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点,则
4、AC的最小值是_【分析】M点为主动点,C点为从动点,B点为定点考虑C是BM中点,可知C点轨迹:取BP中点O,以O为圆心,OC为半径作圆,即为点C轨迹当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时,AC取到最小值,根据B、P坐标求O,利用两点间距离公式求得OA,再减去OC即可【2016武汉中考】如图,在等腰RtABC中,AC=BC=,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点,当半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长为_【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点,可确定M点轨迹:取AB中点O,连接CO取CO中点D,以D为圆心,DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点,则弧EF即为M点轨迹当然,若能理解M点与P点轨迹关系,可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解决问题【2018南通中考】如图,正方形ABCD中,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF,连接AE、CF求线段OF长的最小值【分析】E是主动点,F是从动点,D是定点,E点满足EO=2,故E点轨迹是以O为圆心,2为半径的圆考虑DEDF且DE=DF,故作DMDO且DM=D
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