分式的运算技巧

1、分式概念 形如(A、B是整式，B中具有字母)的式子叫做分式。其中叫做分式的分子,B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。注意：判断一种式子与否是分式，不要看式子与否是的形式,核心要满足：分式的分母中必须具有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式与否故意义，即分母与否为零。由于字母可以表达不同的数,因此分式比分数更具有一般性。措施:数当作果,式看形。分式条件：1.分式故意义条件：分母不为0。2分式值为0条件：分子为且分母不为0。分式值为正(负）数条件：分子分母同号得正，异号得负。4.分式值为1的条件：分子分母。.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为。代数式分类整式和分式统称为有理式。带有根号且根号下具有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的分子和分母同步乘以（或除以）同一种不为0的整式，分式的值不变。用式子表达为:(A,B,C为整式,且B、)运算法则约分根据分式基本性质，可以把一种分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的核心

2、是拟定分式中分子与分母的公因式。约分环节：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几种因式乘积的形式,将它们的公因式约去。2分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去。公因式的提取措施：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。最简分式：一种分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时,一般将一种分式化为最简分式。通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则：(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。（2） 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表达为：分式的加减法法则: 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表达为：异分母分式的加减法法则: 异分母的分式相加减，先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式的除法法则: 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。除以一种分式,等于乘以这个分式的倒数：乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，

3、可以约分的约分，最后化成最简:分式方程的意义：分母中具有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法:(1）去分母（方程两边同步乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)（)按解整式方程的环节求出未知数的值（3）验根(求出未知数的值后必须验根，由于在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范畴，也许产生增根)。分式方程解法的归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。【基本精讲】 一、分式的概念、对的理解分式的概念：【例1】有理式(1)；(2); (3）;(4）；（5);(6）中，属于整式的有： ；属于分式的有: 。.2、判断分式有无意义核心是看分母与否为零.(1) 例如,当x为 时,分式故意义错解：时原分式故意义.(2） 不要随意用“或”与“且”。例如 当x_时,分式故意义?错解：由分母,得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.当 时，分式故意义当时,分式无意义.当 时，分式值为0.二、分式的基本性质：、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一种不等于零的整式,分式的值不变.(1) 分式的基

4、本性质是分式恒等变形的根据,它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基本,因此,我们要对的理解分式的基本性质，并能纯熟的运用它.理解分式的基本性质时，必须注意:分式的基本性质中的A、B、M表达的都是整式在分式的基本性质中，M.分子、分母必须“同步”乘以M(M),不要只乘分子（或分母）.性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外)时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范畴是变化的(）注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式自身的符号,变化其中任何两个,分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的基本,分子与分母只能同乘以(或除以)同一种不等于零的整式,而不能同步加上(或减去)同一种整式【例3】下列变形对的的是(）A; B C. 【例】 如果把分式中的都扩大倍,那么分式的值一定( ) . A扩大倍 B.扩大9倍 C 扩大6倍 D不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】(1）化简的成果为( ）A B C D.（2）化简的成果()A B C D（3）化简

5、的成果是（） . D3、通分通分的根据是分式的基本性质,通分的核心是拟定最简公分母.最简公分母由下面的措施拟定：(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数;(2)最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积；三、分式的运算1、分式运算时注意：(1)注意运算顺序.例如，计算,应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行错解:原式（2）通分时不能丢掉分母.例如,计算,浮现了这样的解题错误:原式=.分式通分是等值变形，不能去分母，不要同解方程的去分母相混淆；(3)忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略 （4)最后的运算成果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用核心是理解其法则.(1)先把除法变为乘法;()接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,固然有乘方运算要先算乘方,然后同其他分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘;(4)最后还应检查相乘后的分式与否为最简分式 3、加减的加减 1)同分母分式加减法则：分母不变,分子相加减。 )异分母分式加减法则：运算环节：先拟定最简公分母；对每项通分，化为分母相似;按同分

6、母分式运算法则进行;注意成果可否化简,化为最简.4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序:先进行乘方运算，另一方面进行乘、除运算,再进行加、减运算，遇有括号,先算括号内的.如果分式的分子或分母中具有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分，再进行运算. 【例6】计算:(1）; (2)；（3） (）已知，则代数式的值分式运算中的技巧与措施在分式运算中,若能认真观测题目构造特性，灵活运用解题技巧,选择恰当的运算措施，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与措施举例阐明。一、 整体通分法例1.化简:-a-1分析 将后两项看作一种整体,则可以整体通分，简捷求解。解:a-1=-(a+1)=-=二、 逐项通分法例2.计算-分析：注意到各分母的特性,联想乘法公式，适合采用逐项通分法解:- =- = -=0三、 先约分，后通分例3.计算：分析：分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算解：+=+=2四、 整体代入法例4.已知=5求的值解法1:=5xy0,.因此=解法2:由+5得,=5, x+y=x=五、运用公式变形法例5.已知a2-5a+1=,计算a+解：由已知条件可得0,a+a+

7、(2+)-=(a+)2-2-2(2-)2-2=527六、设辅助参数法例6已知= =，计算:解：设= = =k，则b+c=;a+c=b；a+b=k；把这3个等式相加得2(a+b+c) (a+b+c)若a+b+c=0，a+b-c,则k=-若ab+c0，则k=2=k当k=时,原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7.已知=7,求的值解：由条件知a,=,即a+=a+1=(+）2-1=八、取常数值法例已知:xyz,x+y+z=0，计算+解：根据条件可设x=，y=,=-2.则+=3.固然本题也可以设为其她合适的常数。九、把未知数当成已知数法例9已知3a-4b-c=0,a+=0,计算: 解:把c当作已知数,用c表达a,b 得,a3c, b=2c=.十、巧用因式分解法例10已知a+bc=0，计算+解:ab=, =-b-c，a-,c=-a-22+=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+c（)(a-c)同理可得22+ac(-c)(b-),2c+a=(ca)(c-b)+=+=-+=1分式运算的几种技巧（二）1、先约分后通分技巧 例计算分析:不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原

8、式=+ 、分离整数技巧 例2 计算-分析:两个分式的分子、分母不能约分,如把分子突出分母，分离整数措施可使计算化简。解:原式=-=1+-=-=-、裂项相消技巧 例3 计算分析：此类题可运用=(-)裂项相消计算。解：原式（-）+（）+（）=-=4、分组计算技巧 例4计算+-分析：通过观测发现原式中第一、四项分母乘积为a2-，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采用分组计算简捷。解:原式=（)（-）=5、变形技巧 例5 已知x-3x+1=0，求x2+的值。分析:将已知两边同除以x(x）可变出,然后运用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解:由x-3x+1=0,两边同除以x（x0)，得-3+=0,即x=3因此x2+=()2-2=-=二、分式求值中的整体思想例1 若分式的值为,则的值为( )、1 B、-1 C、 D、解:由已知=得2y2+y+7=82y+3y=1，4y+6y2因此=1,故选。例2已知+4,则= 。分析：由已知可得到a+b与ab的关系式,所求式通过度解因式可得到用a+b与ab的体现式，然后将a+b用b代换即可求出所求式的值。解：由已知得= ab=4ab=-点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到然后将已知式代入求值，这种措施也是常用的一种措施。例3 已知a2a+1=0，求的值。解:由已知a2-3a0知a0，将已知等式两边同除以得a-+=,a+3因此=a+=(a）

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