初三数学圆地经典讲义

1、word圆目 录圆的定义与相关概念垂经定理与其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆接四边形会用切线 , 能证切线切线长定理三角形的切圆了解弦切角与圆幂定理选学圆与圆的位置关系圆的有关计算一圆的定义与相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的局部叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如如如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的

2、外心在。 考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，如此点与圆的位置关系有三种。点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆 dr；【典型例题】例1 在ABC 中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。MABC例2，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。DOEBAC例3 O平面一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，如此这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，如此AB和CD的距离是多少？例5 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm,，ABDCOE求CD的长例6.：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数二垂径定理与其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论1：平分弦不是直径的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条

3、孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理与推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB、CD是O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且ABDCONM求证：AB=CD例2，不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，BF于F。求证：CE=DF【考点速练】O的半径为2cm，弦AB长，如此这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为 . A1cm B.2cm C. D.cm3如图1，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，假设CE=3cm，DE=7cm，如此AB的长为 A10cm B.8cm C. D.4.有如下判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有 5如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D假设AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为 A3:2 B.:2 C.: D.5:46.如图,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么O

4、P长的取值围是.7.如图,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_m.ABDCO8008.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水阴影局部，水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别如下各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断如如下图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。考点34. 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题例1：如如下图中是圆周角的有.是圆心角的有 。例2：如图，A是O的圆周角，且A35,如此OBC=_.BOCAOABC例3：如图，圆心角AOB=100，如此ACB=EFCDGO例例：如图，是O的直径，点都在O

5、上，假设，如此例例如图2，O的直径过弦的中点，如此例6：如图，AD是O的直径，ABC=30，如此CAD=_._D_C_B_A_O例7：O中，如此O的半径为四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.务必注意前提为：在同圆或等圆中ABEFOOPOCO1O2ODO例1如如下图，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。OABC例3如如下图，在中，A=，O截的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.例4如图，O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE OCAEBD例5如如下图，在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于E求证：是等边三角形OADEBC五圆接四边形【考点速览】圆接四边形对角

6、互补，外角等于对角。圆接梯形为等腰梯形，圆接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1 1圆接四边形ABCD中，A:B:C=2:3:4，求D的度数ABCDO2圆接四边形ABCD中，如如下图，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、B、C、D的度数例2 四边形ABCD接于O，点P在CD的延长线上，且APBD求证：ADCBOP例3 如如下图，是等边三角形，D是BC上任一点求证：DB+DC=DAABCDO六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于A， OA为半径 l 为O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径考点4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于

7、切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直经典例题：例1.如图，ABC接于O， AB是 O的直径，CAD ABC，判断直线AD与O的位置关系，并说明理由。例2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，O的半径为5cm，AB与O相切吗？为什么?例3.如图,PA、PB是O的切线，切点为A、B，C是O上一点，假设P40。，求C的度数。ABCEOD例4如如下图，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的切线中考1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。2. 如图，在RtABC中，C=90。 ，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且CBD= A，判断BD与O的位置关系，并证明你的结论。七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别AAOACADABAPA 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一点到切点之间的距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PB PO平分考点3

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