初中数学竞赛教程初一教师版
181页1、 初 中 数 学 竞 赛 教 程 第1讲 用字母表示数 在初中代数中指出:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式。 单独的一个数或一个字母,象-1,0,a,x也是代数式。 上述定义中的“数”,是我们学过的数或指定的数,其中的“字母”,必须是用来“表示数的字母”,一般英语书上的字母不是代数式,因为在使用的场合没约定它代表数。 “用运算符号连接”,一般指加、减、乘、除、乘方、开方等运算,当然也可以是按一定意义规定的运算。7第2讲 图形关系的代数表示 有些数量关系表现为图形中的数量关系,如果能将这些关系表示为代数式,这样就初步地实现了数与形相结合,抽象与直观相结合,对培养数学能力是非常重要的。 1 3 2 4 5第3讲由代数式展开的推理 1 作为代数式基本功的训练,要学习一些利用代数式的运算展开的推理。 3 2 6 5 4 7第4讲 有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除(除数不为0)四则运算,对于相同的有理数相乘,我们规定了简捷算法有理数的乘方运算,除了要熟悉四则运算的法则之外,还应该注意到: 1、有理数对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算的结果是封闭的(仍是有
2、理数)。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立,乘法对加法的分配律也成立。 3、由于有了正、负数,加法与减法的界限消失,加、减可以互相转换,统一为代数和。如(-3)-7=(-3)+(-7)。在有理数范围内,除法可以转化为乘法,比如(-5)7=(-5)。 7 第5讲 有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性 (一)括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单1 计算:(2) 分析 中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化注意 在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算
3、2 计算下式的值:211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧3 计算:S=1-2+3-4+(-1)n+1n分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”如果按照将第一、第二项,第三、第四项,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需对n的奇偶性进行讨论:当n为偶数时,上式是n2个(-1)的和,所以有:s=(-1)*n/2当n为奇数时,上式是(n-1)2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1n=n,所以有4 在数1,2,3,1998前添符号“+”和“-”,
4、并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?分析与解 因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性在1,2,3,1998中有19982个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将1,2,3,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以,所求最小非负数是1说明 本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化(二)用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值:(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我们得到了一
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