安徽省合肥一中2022-2023学年高一年级下册学期第一次月考数学试卷 解析版

1、安徽省合肥一中2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 下列五个结论：温度有零上和零下之分，所以温度是向量；向量ab，则a与b的方向必不相同；|a|b|，则ab；向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线；方向为北偏西50的向量与方向为东偏南40的向量一定是平行向量其中正确的有()A. B. C. D. 【答案】C【解析】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故错；ab，但a与b的方向可以相同，故错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故错；作图易得正确2. 若在ABC中，a，b，且|a|b|1，|ab|，则

2、ABC的形状是()A. 正三角形B. 锐角三角形C. 斜三角形D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】由于|a|1，|b|1，|ab|，所以ABC为等腰直角三角形故选D.3. 已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，则a与b的夹角为()A. 30B. 45C. 135D. 150【答案】A【解析】因为(2ab)(a2b)2a24abab2b23ab，所以ab.设a与b的夹角为，则cos.又因为0180，所以30.4. 如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()A. 2i3jB. 4i2jC. 2ijD. 2ij【答案】C【解析】A(2,3)，B(4,2)，(4,2)(2,3)(2，1)，2ij.5. 设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于()A. B. C. D. 【答案】A【解析】ab，1y2(2)0，解得y4，从而3ab(1,2)，|3ab|.6. 已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=uv取得最小值时,x的值为()A. 0B. -1C. 2D. 1【答案】B【解析】f(x)=uv=

3、(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,f(x)取得最小值2.7. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且OCB30，|2，则|等于()A. 1B. C. D. 2【答案】A【解析】如图，连接AC，由|，得ABCOCB30，又因为ACB90，所以|21.8. 如图，在ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N两个不同的点若m，n，其中m，n为实数，则mn等于()A. 1B. C. 2D. 3【答案】C【解析】如图，连接AO，由O为BC中点可得，().M，O，N三点共线，1，mn2.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 在平面直角坐标系中,若点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是()A. OA=2i+3jB. OB=3i+4jC. AB=-5i+jD. BA=5i+j【答案】AC【解析】由题图知,OA=2i+3j,OB=-3i+4j

4、,故A正确,B不正确;AB=OB-OA=(-3i+4j)-(2i+3j)=-5i+j,BA=-AB=5i-j,故C正确,D不正确.10. 在ABC中，若b，c3，B30，则a的值可以等于()A. B. 2C. 3D. 4【答案】AB【解析】由正弦定理得，即，所以sinC，又0C180，所以C60或120.当C60时，A90，a232()2，a2，当C120时，A30，ab.11. 如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2 km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得ADC=30,5分钟后该船行驶至B处,此时测得ACB=60,BCD=45,ADB=60,则()A. 当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15方向B. 当天10:00时,该船距离观测点C2kmC. 当船行驶至B处时,该船距观测点C2kmD. 该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了6km【答案】ABD【解析】A项中,ACD=ACB+BCD=60+45=105,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15方向,故A正确.B项中,在ACD中,ACD=105,ADC=30,则CAD=45.由正弦定理,

5、得AC=CDsinADCsinCAD=2,故B正确.C项中,在BCD中,BCD=45,CDB=ADC+ADB=30+60=90,即CBD=45,则BD=CD=2,于是BC=22,故C不正确.D项中,在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=2+8-222212=6,即AB=6km,故D正确.12. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac，tanB2，ABC的面积为2，则b2|a-c|可能取到的值为()A. 4B. 2C. 4D. 2【答案】AC【解析】因为tanB2，所以cosB，sinB，又SacsinB2，所以ac6，由余弦定理可得b2a2c22accosBa2c24(ac)28，所以b2|a-c|(a-c)2+8|a-c|ac|8|a-c|4当且仅当|ac|8|a-c|时，等号成立，故b2|a-c|的最小值为4，可能取到的值为AC选项三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13. 已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若AB3a，则点B的坐标为_【答案】(5，4)【解析】设O为坐标原点，因为OA(

6、1，5)，AB3a(6，9)，故OBOAAB(5，4)，故点B的坐标为(5，4).14. 若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_.【答案】【解析】由a(k，3)，b(1，4)，得2a3b(2k3，6).又2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c2(2k3)60，得k3，若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，此时2a3b与c共线且反向，不合题意.综上，k的取值范围为.15. 如图，设P为ABC内一点，且2PA2PBPC0，则SABPSABC_【答案】【解析】设AB的中点是D.因为PAPB2PDPC，所以PDPC，所以P为CD的五等分点，所以ABP的面积为ABC的面积的.16. 在ABC中，a，A60，求3b2c的最大值_【答案】2【解析】由正弦定理知，asinAbsinBcsinC，因为a，A60，所以bsinBcsinC2，所以b2sinB，c2sinC，所以3b2c6sinB4sinC6sinB4sin (60B)6sinB48sinB2cosB2sin (B)，其中tan，因为030，0B1

7、50，当B90时，3b2c取得最大值，为2.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17. （12分）已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1，0)，e2(0，1).(1)试计算ab及|ab|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值.【答案】解(1)ae1e2(1，0)(0，1)(1，1)，b4e13e24(1，0)3(0，1)(4，3)，ab413(1)1，|ab|.(2)设a，b的夹角为，由ab|a|b|cos，cos.18. （12分）有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船,现船沿与河岸成60角的方向向河的上游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设河的两岸平行,河水流速均匀.(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v,河水的流速为w,求u,v,w之间的关系式;(2)求这条河河水的流速.【答案】解 (1)如图,u是垂直到达河对岸方向的速度,v是与河岸成60角的静水中的船速,则v与u的夹角为30.由题意知,u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形,其中OB=v,OC=u,OA=BC=w.由向量加法的三角形法则知,

8、OC=OA+OB,即u=w+v.(2)|v|=10km/h,而|BC|=|OB|sin30=1012=5(km/h),这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下.19. （10分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB.若b3，sinC2sinA，求a，c的值【答案】解sinC2sinA，由正弦定理，得c2a，由余弦定理得b2a2c22accosB，即9a24a22a2acos，解得a，c2a2.20. （12分）如图，在ABC中，点D在BC边上，CAD，AC，cosADB.(1)求sinC的值；(2)若BD5，求ABD的面积【答案】解(1)因为cosADB，所以sinADB.又因为CAD，所以CADB.所以sinCsinsinADBcoscosADBsin.(2)在ACD中，由，得AD2.所以SABDADBDsinADB257.21. （12分）设两个向量a，b满足a(2，0)，b，(1)求ab方向的单位向量；(2)若向量2ta7b与向量atb的夹角为钝角，求实数t的取值范围【答案】解 (1)由已知ab(2，0)(，)，所以|ab|，所以ab，即ab方向的单位向量为；(2)由已知ab1，|a

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