1、课时作业 20 简单线性规划时间：45 分钟 满分：100 分课堂训练x+yW2,1若变量x、y满足约束条件x$l,则z = 2x+y的最、y$0,大值和最小值分别为( )A4 和 3 B4 和 2C3 和 2 D2 和 0 【答案】 B【解析】 画出可行域如图：2AB0作l : 2x+y=0.平移l到经过点A(或B), 00即当直线z = 2x+y过A(2,0)时z最大，过B(1,0)时z最小，zmax =4，z =2.min且 x+y 的最x+3y3$0, 2若实数x, y满足不等式组2xy3W0,、xmy+l$0.大值为9,则实数m=()B 一1D. 2A. 2C1【答案】 C解析】画出x+3y3$0,2xy3W0,表示的平面区域如图,又 xmy+l = 0.恒过(一1,0)点，当m0 , 又 满 足 条 件 的 可 行 域 必 须 是 一 个 三 角 形 , 联 立2xy3 = 0,xmy+l=0.解得3m+l52ml 2m1),3m+12m152m1=9，解得 m=1x$0,表示的平面3. （2013 北京文）设D为不等式组2xyW0, 、x+y3W08/I032x-y=0则
2、（1,0）到区域D的最小值即为（1,0）到直线y = 2x的距离:2X10|2 店区域，区域D上的点与点（1,0）之间的距离的最小值为【答案】2申5【解析】区域D如图所示：2x+y$6, x+2y$6, 4设z = 2x+3y6,式中x, y满足条件x$0,y$0.z 的最小值.分析】 在平行直线系中先作过原点的直线,再将直线平移到可行域中.【解析】 不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)作直线l : 2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l的位置时，0 0 1直线经过可行域上的点M且与原点距离最短，此时z = 2x+3y6取得最小值.2x+y=6,x = 2,解方程组 得 Q即M(2,2)|x+2y=6,y=2.此时 z =2X2 + 3X2 6 = 4.min【规律方法】 利用可行域求最优解是解决线性规划问题中重要 的一步.如果可行域是一个多边形及其内部,那么一般在其顶点处或 边界处可使目标函数取得最大值或最小值.课后| 作业一、选择题(每小题5分,共40分)yWl,1.若变量x, y满足约束条件x+y$0,则z=x2y的、xy2W0,最大值为( )D.1A.4B.3C.2【
3、答案】 B解析】 画出可行域(如下图)，A(-13)2Ox+y=OC(l-l)1z由z = x2y得丫=劳才则当目标函数过C(l, 1)时取得最大值，所以 z = 1 2X(1) =3.max2(2013 天津理)设变量x , y满足约束条件3x+y6$0,0 , x , y满足约束条件x$l, x+yW3,若z = 2x+y的最小值为1,则a=()ly上a(x3),C.1 D.2【答案】 Bx$1,【解析】作出线性约束条件x+yW3,的可行域.、y 上a(x3).因为y=a(x3)过定点(3,0),故应如图所示，当过点C(1, 2a) 时，z = 2x+y有最小值，BA0XCx2兀十尸0x+y=3y=a(x-3)1/.2X1 2a=1,Aa=-.乙x$05已知 x，y 满足约束条件y$0,则(x+3)2+y2 的最小、x+y$l值为()B2谄C8D10【答案】D【解析】作线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，而(x + 3)2 + y2的最小值表示C( 3,0)与图中阴影部分内的点的连线 的最小值的平方，即 |AC|2= ( 3 0)2+ (01)2=10.X + J = lx
4、y+l$0,6.若实数x, y满足x+y$0,则z = 3x+2y的最小值是、xW0,()A.0 B.1D.9【答案】 B解析】上述不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示.j+y=O令t=x+2y，则当直线y= fx+21经过原点0(0,0)时，；t取最小值，也即t有最小值为0,则z = 3x+2y的最小值为3o=l.x+y120,7在平面直角坐标系中，若不等式组xlW0,（a为、axy+l$0常数）所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为（）A5B1C2D3【答案】D【解析】如图，阴影面积为2,则AC=4,A(1,4),/.a=3,故选 D.ly m8某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中,那么,为了获得最大利润 甲、乙两种货物应各托运的箱数为（ ）货物体积/每箱（m3）质量/每箱50 kg利润/每箱（百元）甲5220乙4510托运限制2413,1 B3,2C1,4 D2,4【答案】【解析】A设托运货物甲 x 箱,托运货物乙 y 箱,由题意,得5x+4yW24,2x+5yW13,、x, yN,利润z = 20x+10y,由线性规划
5、知识，可得x=4,y=i时，利润最大.二、填空题（每小题 10 分，共 20 分）x+y6W0 x+2y8W09若x、y满足的约束条件为，要使z = 2x0WxW4j0WyW3+ 3y达到最大值，则x=, y=.【答案】 4；2【解析】 根据约束条件表示的平面区域，则;于*0|x+2y8 = 0,得!x_4,y=2,即点 P(4,2) 当 l 2x+3y=z经过点P时，z =14，此时x=4, y=2.maxxy2W0,10设实数x, y满足 x+2y4$0,则补的最大值是、2y3W0.答案】32解析】不等式组表示的平面区域如下图令X=k,即y=kx.：所求的X的最大值即为过原点斜率的最大值, xx有 kmax = kOA=三、解答题(每小题20 分,共40分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤)xy+220,11 .已知x+y4$0,求：、2xy5W0,(1) z=x+2y4 的最大值；(2) z=x2+y210y+25 的最小值；(3) z=x+l的取值范围.【解析】 作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3)B(3,1)、C(7,9).将C(7,9)代入z得最大
6、值为21.(2) z = X2+ (y5)表示可行域内任一点(x, y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，z的最小值是9MN|2=-乙z = 2 二4表示可行域内任一点(x,y)与定点Q(1, x(1)2)连线的斜率的两倍.*k =QA，kQB=38,3.z的取值范围为4,12某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个, 所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板 可造甲、乙两种产品各6个问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省【解析】 设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z,则约束条件3x+6y$455x+6y$55 为v x, yez，目标函数z=2x+3y.x$0y$0作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示5+6y=552+3y=0r2 z2zz = 2x+3y变为y= 3X+3,得斜率为一3,在y轴上截距为3,且随z变化的一组平行直线.当直线z = 2x+3y过可行域上点M时，截距最小，z最小解方5x+6y=55,程组L“ 得M点的坐标为(5,5).3x+6y=45,此时 z =2X5 + 3X5 = 25 (m2).min答：两种金属板各取5 张时，用料面积最省【规律方法】 本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使 完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型解决这类问题的方法 是：根据题意列出不等式组（约束条件），确定目标函数；然后由约束 条件画出可行域；最后利用目标函数对应直线的平移，在可行域内求 出目标函数达到最小值的点，从而求出符合题意的解
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