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三角函数的发展历史
11页1、 三角学的起源与开展三角学之英文名称 Trigonometry ,约定名于公元1600年,实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量),其原义为三角形测量解法,以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为根底,到达测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份,后来研究围逐渐扩大,变成以三角函数为主要对象的学科。现在,三角学的研究围已不仅限于三角形,且为数理分析之根底,研究实用科学所必需之工具。西方的开展三角学Trigonometry创始于公元前约150年,早在公元前300年,古代埃及人已有了一定的三角学知识,主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高,成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯Hipparchus of Nicaea为了天文观测的需要,作了一个和现在三角函数表相仿的弦表,即在固定的圆,不同圆心角所对弦长的表,他成为西方三角学的最早奠基者,这个成就使他赢得了三角学之父的称谓。公元2世纪,希腊天文学家数学家托勒密
2、(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就,加以整理发挥,着成天文学大成13卷,包括从0到90每隔半度的弦表及假设干等价于三角函数性质的关系式,被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅劳斯Menelaus写了一本专门论述球三角学的著作球面学,容包球面三角形的根本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广,以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学到达全盛时期。(二)中国的开展我国古代没有出现角的函数概念,只用勾股定理解决了一些三角学围的实际问题。据周髀算经记载,约与泰勒斯同时代的子已利用勾股定理测量太阳的高度,其方法后来称为重差术。1631西方三角学首次输入,以德国传教士邓玉函、汤假设望和我国学者徐光启(p20)合编的大测为代表。同年徐光启等人还编写了测量全义,其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编三角算法,以三角取代大测,确立了三角名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用,如几何计算等,多开展于20世纪中。贰、三角函数的演进正弦函数、余弦函数、正切
3、函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数Trigonometric function。尽管三角知识起源于远古,但是用线段的比来定义三角函数,是欧拉(p16)1707-1783在无穷小分析引论一书中首次给出的。在欧拉之前,研究三角函数大都在一个确定半径的圆进展的。如古希腊的托勒密定半径为60;印度人阿耶波多约476-550定半径为3438;德国数学家里基奥蒙特纳斯1436-1476为了精细地计算三角函数值曾定半径600,000;后来为制订更精细的正弦表又定半径为107。因此,当时的三角函数实际上是定圆的一些线段的长。DCB0AP意大利数学家利提克斯1514-1574改变了前人的做法,即过去一般称AB为的正弦,把正弦与圆牢牢地连结在一起如下页图,而利提克斯却把它称为AOB的正弦,从而使正弦值直接与角挂勾,而使圆O成为附属地位了。到欧拉(Euler)时,才令圆的半径为1,即置角于单位圆之中,从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。正弦、余弦 在ABC中,a、b、c为角A、B、C的对边,R为ABC的外接圆半径,那么有 称此定理为正弦定理。 正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威
4、发(940-998)首先发现与証明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼973-1048(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在论完全四边形中第一次把三角学作为独立的学科进展论述,首次清楚地论証了正弦定理。他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的三个边,或由三边去求三个角。这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开场脱离天文学,走上独立开展的道路。托勒密 Claudius Ptolemy 的天文学大成第一卷除了一些初级的天文学资料之外,还包括了上面讲的弦表:它给出一个圆从 到180每隔半度的所有圆心AM BAO角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分,弦长以每一等分为单位,以六十进制制表达。这样,以符号 crda 表示圆心角所对的弦长,例如 crd 36=37p455,意思是:36圆心角的弦等于半径的或37个小局部,加上一个小局部的,再加上一个小局部的,从以下图看出,弦表等价于正弦函数表,因为 公元6世纪初,印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限间隔345的正弦表,依照巴比伦人和希腊人的习惯,将圆周分为360度,每度为60分,整个圆周为2160
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