北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试+数学+Word版含答案

1、海淀区20232024学年第一学期期末练习高三数学2024.01本试卷共6页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，则（ ）ABCD2如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，则复数的虚部为（ ）ABCD3已知直线，直线，且，则（ ）A1BC4D4已知抛物线的焦点为，点在上，为坐标原点，则（ ）AB4C5D5在正四棱锥中，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ）A4B2CD6已知，直线与交于，两点若为直角三角形，则（ ）ABCD7若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）A10BeC2D8已知直线，的斜率分别为，倾斜角分别为，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9已知是公比为（）的等比数列，为其前项和若对任意的，恒成立，则（ ）A是递增数列B是递减数列C是递增数列D是递减数列10蜜蜂被誉为“天才的建筑师”蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用

2、材面积最小的结构下图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，构成设，则上顶的面积为（ ）（参考数据：，）ABCD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11在的展开式中，的系数为_12已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为_13已知点，在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为1，则_；点到直线的距离为_14已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为，则能使得为某一个等差数列的前项和（，2，）的一组，的值为_，_15已知函数给出下列四个结论：任意，函数的最大值与最小值的差为2；存在，使得对任意，；当时，对任意非零实数，；当时，存在，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（本小题13分）如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，为线段的中点，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值17（本小题14分）在中，（）求的大小；（）若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长条件：的面积为；条件：；条件

3、：注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；（）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，的大小关系19（本小题15分）已知椭圆（）过点，焦距为（）求椭圆的方程，并求其短轴长；（）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点设直线的斜率为，求的最大值20（本小题15分）已知函数（）当时，求证：当时，；函数有唯一极值点；（）若曲线与曲线

4、在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值21（本小题15分）对于给定的奇数（），设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中记设集合，记为集合所含元素的个数（）对以下两个数表，写出，的值；（）若，中恰有个正数，中恰有个正数求证：；（）当时，求的最小值海淀区20232024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1A2D3B4D5C6A7D8B9B10D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11122131411（答案不唯一）15三、解答题（共6小题，共85分）16（共13分）解：（）连接在四棱柱中，侧面为平行四边形，所以，因为，M为AB中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形所以因为平面，所以平面（）在正方形中，因为平面平面，所以平面所以因为，平面，与相交，所以平面所以如图建立空间直角坐标系不妨设，则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，于是因为，所以直线与平面所成角的正弦值为17（共14分）解：（）由正弦定理及，得

5、因为，所以由得因为，所以所以因为，所以（）选条件：由（）知，所以所以因为，所以所以，即所以是以AC为斜边的直角三角形因为，所以所以AC边上的中线的长为1选条件：由余弦定理得设AC边上的中线长为d，由余弦定理得所以AC边上的中线的长为118（共13分）解：（）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则（）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场所以X的所有可能取值为0，1，2，所以X的分布列为X012P所以（）19（共15分）解：（）由题意知，所以，所以椭圆E的方程为，其短轴长为4（）设直线CD的方程为，则由，得所以由得直线AM的方程为由，得因为，所以，所以因为Q为OD的中点，所以，所以所以直线NQ的斜率当时，当时，因为，当且仅当时，等号成立所以所以当时，k取得最大值20（共15分）解：（）当时，记（），则所以在上是增函数所以当时，所以当时，由得，且当时，因为，所以因为对任意恒成立，所以当时，所以0是的唯一极值点（）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则因为，所以所以不妨设，则，因为，由“优切线”的定义可知所以，由“优切线”的定义可知，所以当，时，取，则，符合题意所以，21（共15分）解：（），；，由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），的值不变因为m为奇数，所以，均不为0（）当或时，不妨设，即，若，结论显然成立；若，不妨设，则，所以，结论成立当且时，不妨设，则当时，；当时，因为当，时，所以所以同理可得：，所以（）当时，的最小值为对于如下的数表A，下面证明：设，中恰有s个正数，中恰有t个正数，若或，不妨设，即，所以当时，由A中所有数不全相同，记数表A中1的个数为a，则，且，所以由设且若或，不妨设，则由（）中结论知：因为，所以由设且若，则由（）中结论知：因为，所以若，不妨设，且，由（）中结论知：所以若数表A中存在（）为1，将其替换为后得到数表因为，所以所以将数表A中第i行第j列（）为1的数替换为后值变小所以不妨设（）因为，

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