2023年中考复习数学最值问题第30讲瓜豆原理之相似轨迹圆（教师版）

1、第30讲：瓜豆原理之相似轨迹圆【瓜豆圆介绍】如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ.当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 思路提示：总结如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角APQ当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？ 思路提示：总结方法解析为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点（你）”，点Q为“从动点（我）”主动点（你）、从动点（我）与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点（你）、从动点（我）到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）【例题精讲】例1、如图，AB4，O为AB的中点，O的半径为1，点P是O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为_ 解析提示： 总结：【解答】解：如图，作OKAB，在OK上截取OKOAOB，连接AK、BK、KC、OPOKOAOB，OKAB，KAKB，AKB90，AKB是等腰直角三角形，OBKPBC，OBPKBC，OBPKBC，OP1，KC，点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AKOA2，AC的最大值为3，AC的最小值，AC3例2、如

2、图，O半径为3，RtABC的顶点A，B在O上，A30，点C在O内，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（） 解析提示：总结：【解答】解：连接AO，当OCOA时，OC最短，B90，BC延长线与AO的延长线交于D，点D会在圆上，OCAD，OAOD，ACCD，CAB30，CDAC2CB，ABBC，AD2BD2+AB29BC2+3BC2，BC，AC2，AO3，OC例3、 如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B已知点C（2，0），点D为A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则BCE面积的最小值为 解析提示： 总结：【解答】解：如图，设E（m，n），过点E作EMx轴于M，过点作DNEM，交ME的延长线于N，CMEEND90，MCE+MEC90，CDE是等腰直角三角形，CEDE，CED90，NED+MEC90，MCENED，CMEEND（AAS），EMDNn，CMEN2m，D（m+n，n+2m），点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，连接AD，则AD2，2，即，点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨

3、迹），以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，B（0，4），OB4，C（2，0），OC2，BC2，过点O作OHBC于H，OH，设点E到BC的距离为h，SBCEBChhh，h最小时，SBCE最小，而h最小OH，SBCE最小（）4，故答案为：4例4、（1）如图1，A是O上一动点，P是O外一点，在图中作出PA最小时的点A（2）如图2，RtABC中，C90，AC8，BC6，以点C为圆心的C的半径是3.6，Q是C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值（3）如图3，矩形ABCD中，AB6，BC9，以D为圆心，3为半径作D，E为D上一动点，连接AE，以AE为直角边作RtAEF，EAF90，tanAEF，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由解析提示： 总结：【解答】解：（1）连接线段OP交C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CPAB于Q，P，交C于Q，这时PQ最短理由：分别在线段AB，C上任取点P，点Q，连接P，Q，CQ，如图2，由于CPAB，根据垂线段最短，CPCQ+PQ，CO+PQCQ+PQ，又

4、CQCQ，PQPQ，即PQ最短在RtABC中，PQCPCQ6.83.61.2，这时当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2（3）ACF的面积有最大和最小值如图3，取AB的中点G，连接FG，DEEAF90，AB6，AGGB，AGGB3，又AD9，BADBEAF90，FAGEAD，FAGEAD，DE3，FG1，点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，连接AC，则ACD的面积过G作GHAC于H，交G于F1，GH反向延长线交G于F2，当F在F1时，ACF面积最小理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时ACF的边AC上的高最小，所以ACF面积有最小值，在RtABC中，在RtACH中，ACF面积有最小值是；四边形ADCF面积最小值是；当F在F2时，F2H最大理由：在G上任取异于点F2的点P，作PMAC于M，作GNPM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，GHMN，在RtGNP中，NGF290，PGPN，又F2GPG，F2G+GHPN+MN，即F2HPM，F2H是ACF的边AC上的最大高，面积有最大值，ACF面积有最大值是；四边形ADCF面积最大值是综上所述，四边形ADCF面积最大值是，

5、最小值是针对训练1、如图，O的半径为3，点A，B在O上，C为O内一点，ABAC，ABAC，垂足为A，求OC的最小值【解答】解：如图，连接OA，将OAC绕点A顺时针旋转90至QAB，连接OB，OQ，ABACBAC90由旋转可得QBOC，AQOA，QABOACQAB+BAOBAO+OAC90在RtOAQ中，OQ3，AO3，在OQB中，BQOQOB33，即OC最小值是332、如图，O的半径为3，AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值 【解答】解：如图，连接AO，OB，将OA绕点A顺时针旋转90，可得AA，连接OA，AD，OAAA3，OAA90，OA3，四边形ABCD是正方形，ABAD，BAD90，BADOAA90，OABAAD，且OAAA，ABAD，OABAAD（SAS）ADOB3，在OAD中，ODOA+AD3+3，点A，点O，点D共线时，OD有最大值为3+33、如图，O的半径为3，点A，B在O上，C为O内一点，ABAC，ABAC，垂足为A，则OC的最小值为 【解答】解：作AQOA，使AQOA，连接OQ、BQ、OB，QAOBAC90，QABOAC，QABOAC，BQOC

6、，当BQ最小时，OC最小，OA3，AQ4，QO5，QBOQOB，OQ2，BQ的最小值为2，OC的最下值为2，4、如图，线段AB8，D为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足DE2，连接BE，将BE绕点E逆时针旋转90得到EC，连接AC、BC，则线段AC长度的最大值为 【解答】解：以BD为直角边在BD上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO则，又CBOEBD，EBDCBOE点运动轨迹是以D为圆心，DE2为半径的圆，C点运动的轨迹是以O为圆心，OC2为半径的圆ACAO+OC，AO4，OC2AC最大值为4+26故答案为65、如图，线段AB4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是 【解答】解：以AB为斜边向上作等腰直角AJB，连接CJ，BCAMBM，JMAMMB，JMB是等腰直角三角形，PBC是等腰直角三角形，BJBM，BCPB，MBJPBC45，MBPJBC，JBCMBP，PM1，JC，点C的运动轨迹是以J为圆心，为半径的圆，AJAB2，ACAJ+JC3故线段AC长度的最大值为36、如图所示，A

7、B=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为 。【解答】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E使AFEF，连接EP，BECBD和ABF都是等腰直角三角形，CBDABF45，CBDCBFABFCBF，即FBDABC，ABCFBD，AC2，DF，ADDP，AFFE，DF是AEP的中位线，EP2DF2，ABF是等腰直角三角形，AFFE，BF垂直平分AE，BABE，AB4，BE4，42PB4+2，7、ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 。【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角AOF，且AOF90四边形BCDE是正方形BOCO，BOC90AOF是等腰直角三角形AOFO，AFAOBOCAOF90AOBCOF，且BOCO，AOFOAOBFOC（SAS）ABCF4若点A，点C，点F三点不共线时，AFAC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AFAC+CFAFAC+CF2+46AF的最大值为6AFAOAO的最大值为37、问题提出：（1）如图，在RtABC中，C90，AB13，BC5，则tanA的值是 （2）如图，在正方形ABCD中，AB5，点E是平面上一动点，且BE2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值问题解决：（3）如图，O半径为6，在RtABC中，B90，点A，B在O上，点C在O内，且tanA当点A在

《2023年中考复习数学最值问题第30讲瓜豆原理之相似轨迹圆（教师版）》由会员ys****i分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考复习数学最值问题第30讲瓜豆原理之相似轨迹圆（教师版）》请在金锄头文库上搜索。