2021年福建省福州市连江黄如论中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021年福建省福州市连江黄如论中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为（       ） A．(x－3)2+(y+1)2=4                      B．(x－1)2+(y－1)2=4 C．(x+3)2+(y－1)2=4                      D．(x+1)2+(y+1)2=4 参考答案： B 2. 已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　） 　 A． [2，+∞） B． （2，+∞） C． [1，+∞） D． （﹣∞，﹣1） 参考答案： B 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑． 分析： 求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解答： 解：∵＜1， ∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0， ∴x＞2或x＜﹣1， ∵p是q的充分不必要条件， ∴k＞2， 故选：B． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础． 3. 已知随机变量服从正态分布，，且，则（    ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.1 参考答案： C 【分析】 根据正态分布曲线的对称性可得，有，再由对立事件概率关系即可求解. 【详解】， ， . 故选:C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性、对立事件概率关系，属于基础题. 4. 当时，下面的程序段输出的结果是（   ） IF   THEN else PRINT y           A．    B．    C．    D． 参考答案： D  解析：该程序揭示的是分段函数的对应法则 5. 已知条件，条件，则是成立的 （A）充分不必要条件    （B）必要不充分条件   （C）充要条件          （D）非充分非必要条件 参考答案： B 6. 已知随机变量，且，则p和n的值依次为(     ) A.，36         B.，18        C.，72         D.，24 参考答案： A 略 7. 如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么    （   ） A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同 B.命题“非p” 与命题“非q”中至少有一个是假命题 C.命题p与命题“非q”的真值相同 D.命题“非p且非q”是真命题 参考答案： D 8. 函数f（x）=的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项． 【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项； 又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方， 当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合， 故选A． 9. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下2×2列联表：   做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女 30 15 附： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 参照附录，得到的正确结论是(    ) A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” 参考答案： D 10. 已知，都是负实数，则的最小值是 A．           B．2(-1)        C．2-1          D．2(+1) 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知随机变量ξ的分布列为若η＝2ξ－3，则η的期望为_______． 参考答案： 3 12. 已知抛物线的顶点在坐标原点，且焦点在轴上．若抛物线上的点到焦点的距离是5，则抛物线的准线方程为      ．    参考答案： 13. 求函数的单调减区间为__________． 参考答案： 14. 若函数 在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_______ 参考答案： 略 15. 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C的真子集的个数 为  ▲   ． 参考答案： 7 【分析】 由与，求出两集合的交集确定，进而可得结果. 【详解】, , 则集合的真子集的个数为，故答案为7. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题.   16. 已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为　　． 参考答案： 8 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=x+y，则y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大． 由， 解得，即A（1，2）， 代入z=x+y得z=1+2=3． 即z=x+y最大值为3， ∴2x+y的最大值为23=8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键． 17. 已知点A（3，﹣1），F是抛物线y2=4x的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为　 　． 参考答案： 4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨，则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值，则|MF|+|MA|的最小值为4． 【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），准线方程x=﹣1， 点A（3，﹣1）在抛物线内， 由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨， 则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值， 则|MF|+|MA|的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB． （1）求角B的值； （2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=2sinAcosB，进而可求，结合B为三角形内角，即可得解B的值． （2）由等差数列的性质可得2b=a+c=6，利用余弦定理可求ac=9，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB， ∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB， ∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分） ∴sin（B+C）=2sinAcosB，… 又A+B+C=π， ∴sinA=2sinAcosB，… ∴， 又B为三角形内角 …（5分） ∴…（6分） （2）由题意得 2b=a+c=6，…（7分）      又  ， ∴…（9分） ∴ac=9…（10分） ∴…（12分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19. （12分）已知函数f（x）=+alnx﹣2，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直． （1）求实数a的值； （2）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R），若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数b的取值范围； （3）若不等式πf（x）＞（）1+x﹣lnx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用． 【分析】（1）根据导数的几何意义，得 f′（ 1）=﹣1，解得a， （2）g（ x）=+lnx+x﹣2﹣b（ x＞0），g′（ x）=，可得当 x=1 时，g（ x） 取 得 极 小 值 g（ 1）；可得函 数 g（ x） 在 区 间上 有 两 个 零 点，?，解得实数b的取值范围； （3）π f（x）＞（）t+x﹣lnx 在|t|≤2 时 恒 成 立，?f（ x）＞﹣t﹣x+lnx，即t+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 时 恒 成 立，令 g（ t）=xt+x2﹣2x+2，x＞0，只 需 g（﹣2）＞0，即可 【解答】解：（1）函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 （ 0，+∞），f′（ x）=． ∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直， ∴f′（ 1）=﹣2+a=﹣1，解 得 a=1． （2）g（ x）=+lnx+x﹣2﹣b（ x＞0），g′（ x）=， 由 g′（ x）＞0，得 x＞1，由 g′（ x）＜0，得 0＜x＜1， ∴g（ x） 的 单 调 递 增 区 间 是 （ 1，+∞），单 调 递 减 区 间 为 （ 0，1）， 当 x=1 时，g（ x） 取 得 极 小 值 g（ 1）， ∵函 数 g（ x） 在 区 间上 有 两 个 零 点，∴ ?，解得1， ∴b 的 取 值 范 围 是 （1，+e﹣1]； （3）∵π f（x）＞（）t+x﹣lnx 在|t|≤2 时 恒 成 立，∴f（ x）＞﹣t﹣x+lnx， 即xt+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 时 恒 成 立，令 g（ t）=xt+x2﹣2x+2，（x＞0）， ∴只 需 g（﹣2）＞0，即 x2﹣4x+2＞0 解 得x∈（ 0，2﹣）∪（2+，+∞） 【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题． 　 20. （14分）（2015秋?成都校级月考）（理科）如图，A，B，C，D在y=x2上，A、D关于抛物线对称轴对称，过点D（x0，y0）作抛物线切线，可证切线斜率为x0，BC∥切线，点D到AB，AC距离分别为d1，d2，d1+d2=|AD| ①试问：△ABC是锐角，钝角还是直角三角形？请说明判断的理由． ②若△ABC的面积为240，求A点的坐标和BC直线的方程． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质．  【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】①利用导数的几何意义即可得出直线BC的斜率，进而可得直线AC、AB的斜率之间的关系，即可判断三角形的形状； ②利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，及直线方程． 【解答】解：①由y=x2得，y′=x．设D（x0，x02）， 由导数的几何意义知BC的斜率kBC=x0， 由题意知A（﹣x0，x02），设C（x1，