2021年湖南省娄底市川石中学高一数学文下学期期末试题含解析

2021年湖南省娄底市川石中学高一数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知：，，则p是q成立的（  ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 参考答案： A 【分析】 构造函数，先解出命题中的取值范围，由不等式对 恒成立，得出，解出实数的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题和的充分必要性关系． 【详解】构造函数，对，恒成立， 则，解得， 因此，是的充分但不必要条件，故选A. 2. 若(1)，则；(2)若，则；(3)若，则； (4) 若，则.以上命题中真命题的个数是                 () （A）1          （B）2         （C）3         （D）4 参考答案： 略 3. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则（　　） A．2          B．3           C．4            D．0 参考答案： A 中令得. 又的图象关于直线对称关于y轴对称，是偶函数，   4. 在中，角,均为锐角，且，则的形状是 (　　) A．直角三角形　 B．锐角三角形    C．钝角三角形  D．等腰三角形 参考答案： C 5. 设函数，则满足的的值是(     )． A．2            B．16             C．2或16          D．-2或16 参考答案： C 6. 已知，则的表达式是（    ） A、f(x)=   B、f(x)=  C、f(x)=  D、f(x)= 参考答案： A 7. 函数定义域为R，且对任意，恒成立．则下列选项中不恒成立的是                                             （   ） A．        B．   C．    D． 参考答案： D 8. 已知A={α|α=k×45°+15°，k∈Z}，当k=k0（k0∈Z）时，A中的一个元素与角﹣255°终边相同，若k0取值的最小正数为a，最大负数为b，则a+b=（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．﹣4 D．4 参考答案： C 【考点】终边相同的角． 【分析】写出与角﹣255°终边相同的角的集合，求出最小正角与最大负角，结合集合A的答案． 【解答】解：与角﹣255°终边相同的角的集合为{β|β=n×360°﹣255°，n∈Z}， 取n=1时，β=105°，此时A={α|α=k×45°+15°，k∈Z}中的k0取最小正值为2； 取n=0时，β=﹣255°，此时A={α|α=k×45°+15°，k∈Z}中的k0取最大负值为﹣6． ∴a+b=2﹣6=﹣4． 故选：C． 9. 若函数和在区间D上都是增函数，则区间D可以是（） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 依次判断每个选项，排除错误选项得到答案. 【详解】时，单调递减，A错误 时，单调递减，B错误 时，单调递减，C错误 时，函数和都是增函数，D正确 故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，意在考查学生对于三角函数性质的理解应用，也可以通过图像得到答案. 10. 已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 参考答案： D 【考点】HR：余弦定理． 【分析】根据正弦定理化简已知的等式，得到三角形的三边之比，设出三角形的三边，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a，b及c代入即可求出cosC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，即为三角形最大角的度数． 【解答】解：设三角形的三边长分别为a，b及c， 根据正弦定理==化简已知的等式得： a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k， 根据余弦定理得cosC===﹣， ∵C∈（0，180°），∴C=120°． 则这个三角形的最大角为120°． 故选D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，若向量与平行，则m=      ． 参考答案： 向量， 若与平行， 可得：，解得.   12. 已知数列是等差数列，且，则_________. 参考答案： 13. 已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为________． 参考答案： 13π 14. 若幂函数f（x）的图象过点，则=　　    ． 参考答案： 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可． 【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点， 则，∴，α=﹣2． 所以f（x）=x﹣2． ==2﹣1= 故答案为：． 15. 已知α，β∈（0，），sin（α﹣β）=，cosβ=，则sinα=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：α，β∈（0，），sin（α﹣β）=，cosβ=， 可得cos（α﹣β）==． sinβ==． sinα=sin（α﹣β+β）=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinα==． 故答案为：． 16. （2016秋?建邺区校级期中）若函数f（x）=（a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　    　． 参考答案： （2，+∞） 【考点】指数函数的图象与性质． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：若函数f（x）=（a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上单调递增， 则a﹣1＞1，解得：a＞2， 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题考查了指数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题． 17. 在△ABC中，如果，那么                ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分）已知 （1）求的最小值及取最小值时的集合； （2）求在时的值域; （3）求在时的单调递减区间; 参考答案： 化简得                   4分 最小值为                                   5分 的集合为         7分 （2）当时，，   10分 （3）当即                          14分 19. (本小题满分12分)已知函数，且. (1)求函数f(x)在(－∞,0)上的单调区间，并给出证明； (2)设关于x的方程的两根为，，试问是否存在实数m，使得不等式对任意的及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案： 解：(1)∵， ∴，∴ 任取，且 则 1°当时，，∴，又 ∴，∴，∴在上单调递增 2°当时，，∴，又 ∴，∴，∴在上单调递减 ∴在上的单调递增区间为，单调递减区间为 ……………………………………………………………………………………………6分 (2)∵， ∴，， 又，∴                              故只须当，使恒成立，记 只须： ∴ ∴ ∴或 故存在实数符合题意，其取值范围是…………………………12分   20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD． 参考答案： （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】 （Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC 即可． 【详解】 （Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分， ∴F为AC中点， 又E是PC中点， 在△CPA中，EF∥PA，且PA?平面PAD， EF?平面PAD， ∴EF∥平面PAD． （Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD， 平面 ∴CD⊥平面PAD， ∵CD?平面PDC，  ∴平面PAD⊥平面PDC 【点睛】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理． 21. A、B两地相距120千米，汽车从A地匀速行驶到B地，速度不超过120千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元， (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v(千米小时)的函效:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小； (2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小， 参考答案： （1），当汽车以的速度行驶，能使得全称运输成本最小； （2）. 【分析】 （1）计算出汽车的行驶时间为小时，可得出全程运输成本为，其中，代入，，利用基本不等式求解； （2）注意到时，利用基本不等式取不到等号，转而利用双勾函数的单调性求解。 【详解】（1）由题意可知，汽车从地到地所用时间为小时， 全程成本为，. 当，时，， 当且仅当时取等号， 所以，汽车应以的速度行驶，能使得全程行驶成本最小； （2）当，时，， 由双勾函数的单调性可知，当时，有最小值， 所以，汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小。 【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数解析式，并通过基本不等式进行求解，考查学生数学应用能力，属于中等题。 22. 4x+4-x－2x+2－2-x+2+6=0 参考答案： x=0